Я так подробно пишу об этой хорошо известной задаче, потому что, во-первых, полностью понял тогда ее решение, а во-вторых, испытал совершенно исключительное чувство красоты и освобождения: поразительно, но оказалось, что не надо решать каждую такую задачу в отдельности, а можно изучить их все сразу, заметив то общее, что их объединяет: четность и нечетность числа ребер. Эта идея, идея сопоставления арифметического инварианта геометрической конструкции (как мы бы теперь сказали) меня совершенно поразила.
Потом, когда я начал заниматься в математическом кружке пятого класса в Таллине у замечательной учительницы Анны Аркадьевны, открывшей мне дверь в интригующий и загадочный мир математики, я часто встречался с этой идеей в различных ситуациях, но первое впечатление, связанное с задачей о конверте, запомнилось мне на всю жизнь.
Новый импульс к занятиям математикой, который я испытал, совпал по времени с нашим переездом в Калининград. Я учился тогда в восьмом классе и очень интересовался радиоэлектроникой: собирал сам транзисторные приемники, упаковывая их в миниатюрные мыльницы, и эти приемники работали. Как-то отец купил мне ламповый усилитель в наборе, я, тщательно сверяясь со схемой, собрал его, а затем решил присоединить к нему колебательный контур, чтобы получить настоящий радиоприемник. Я купил ферритовый стержень, намотал на него моток проволоки и подсоединил к усилителю через переменный конденсатор. Каково же было мое удивление, когда в приемнике послышался бодрый дикторский голос с типичным западным акцентом: я попал неожиданно на волну «Голоса Америки»!
Мне хотелось продолжить эти занятия на более содержательном уровне, и я пошел в Калининградский городской дом пионеров, чтобы записаться в соответствующий кружок, но тот был совершенно переполнен желающими, и мне отказали. Тогда я с горя записался в кружок вычислительной техники, который оказался на поверку кружком по математике, причем очень хорошего уровня: здесь работали преподаватели Калининградского политехнического института, и здесь я очень многому научился, познакомившись с совершенно новым для себя классом задач и методов.
До сих пор помню, какое впечатление произвела на меня одна естественная несложная геометрическая задача, рассказанная преподавателем: можно ли на бесконечной клетчатой бумаге провести через данный узел прямую, не пересекающую других узлов решетки?
Решение здесь вновь сводится к арифметике: если бы все прямые, выходящие из данного узла, пересекали бы обязательно какой-либо другой узел, то тангенсы углов в прямоугольном треугольнике, образованные отрезком такой прямой и перпендикулярными линиями сетки, проходящими через эти узлы, были бы обязательно рациональными числами, но ведь можно провести прямую через данный узел так, что тангенс соответствующего угла будет иррациональным, и такая прямая, стало быть, других узлов не пересечет.
Занятия в кружке шли очень интенсивно, и мой математический уровень под влиянием этих занятий заметно вырос, а главное, я почувствовал настоящий вкус к решению задач, меня по-прежнему завораживали неожиданные связи между различными методами, комбинаторными, геометрическими и числовыми, которые порой совершенно неожиданным образом объединялись при решении конкретной задачи.
Система олимпиад в Калининградской области была прекрасно отлажена, и в 1965 году я прошел по всей выстроенной олимпиадной цепочке, победив последовательно на школьной, районной и областной олимпиадах. Вместе со мной в областную команду, едущую на Всероссийскую физико-математическую олимпиаду, также попал мой приятель по кружку Боря Ровнер, и руководство команды приняло решение взять вместо девятиклассников двух способных учеников восьмого класса.
Это решение оказалось правильным. Боря получил на Всероссийской олимпиаде диплом второй степени по физике, а я — аналогичный диплом по математике, и в результате впервые Калининградская областная команда в борьбе с другими областными и республиканскими командами вошла в почетную десятку.
С удовольствием вспоминаю проведенное в Москве, в МГУ и в МФТИ олимпиадное время: здесь я впервые услышал лекцию А. Н. Колмогорова о комплексных числах, вживую увидел И. Г. Петровского, вручавшего нам дипломы, и познакомился с другими победителями по математике, которыми стали Андрей Суслин и Игорь Кричевер, разделившие со мной диплом второй степени, и Мишей Бощерницаном, получившим диплом первой степени. (Суслин и Кричевер сейчас — крупнейшие математики с мировым именем, что же касается Миши, то он давно живет в Израиле и является ярким специалистом по теории динамических систем.)