Кривые и другие математические объекты не живут во времени. Величина π не появляется с даты, до которой она была другой или неопределенной и после которой она изменится. Если верно, что две параллельные линии на плоскости никогда не встречаются, как определено Евклидом, то это всегда было и всегда будет верным. Утверждения о математических объектах, подобных кривым и числам, верны в том смысле, который не нуждается ни в какой оговорке по отношению ко времени. Математические объекты переступают пределы времени. Но как что-нибудь может существовать без существования во времени?[15].
Люди спорили об этих проблемах тысячелетиями, и философы все еще должны достичь согласия по их поводу. Но одно предположение было на столе всегда с тех пор, когда эти вопросы впервые обсуждались. Оно заключалось в том, что кривые, числа и другие математические объекты существуют столь же жестко, как то, что мы видим в природе, — исключая то, что они не в нашем мире, а в другой области, области без времени. Так что нет двух видов вещей в нашем мире, ограниченных временем вещей и вещей, не зависящих от времени. Вместо этого имеется два мира: мир, ограниченный временем, и мир, не зависящий от времени.
Идея, что математические объекты существуют в отдельном, не зависящем от времени мире часто ассоциируется с Платоном. Он полагал, что когда математик говорит о треугольнике, это не любой треугольник в мире, а идеальный треугольник, который точно такой же как реальный (и даже более такой), но существует в другой области, области за пределами времени. Теорема, что сумма углов в треугольнике равна 180 градусов, выполняется не точно для любого реального треугольника в нашем физическом мире, но она абсолютно и точно верна для идеального математического треугольника, существующего в математическом мире. Так что, когда мы доказываем теорему, мы добываем знание о чем-то, что существует вне времени, и демонстрируем правильность того, что оно также не ограничено настоящим, прошлым и будущим.
Если Платон прав, то просто путем рассуждений мы, люди, можем преодолеть время и изучить вневременные истины о вневременной области бытия. Некоторые математики утверждают, что вывели определенное знание о реальности Платона. Это утверждение, если оно верно, дает им черты божественности. Как они себе представляют, они этого достигли? Заслуживает ли доверия их утверждение?
Когда я хочу получить дозу платонизма, я приглашаю моего друга Джима Брауна на ланч. Мы оба наслаждаемся хорошей едой, во время которой он будет снисходителен и, пусть не сразу, объяснит аргументы веры во вневременную реальность математического мира. Джим необычен среди философов в соединении бритвенно острого ума с солнечным нравом. Вы чувствуете, что он счастлив в жизни, и это делает вас счастливым, что вы его знаете. Он хороший философ; он знает все аргументы с каждой стороны, и он не затрудняется дискутировать с теми, кого он не может опровергнуть. Но я не нашел способа поколебать его убежденность в существовании вневременной реальности математических объектов. Я иногда размышляю, не дает ли его вера в истины за пределами человеческого кругозора вклад в его счастье быть человеком.
Один вопрос, который Джим и другие платонисты признают тяжелым для ответа, заключается в том, как мы, люди, чья жизнь ограничена во времени, в контакте только с другими также ограниченными вещами можем получать определенное знание о вневременной реальности математики. Мы пришли к правильности математики через умозаключения, но можем ли мы быть на самом деле уверены, что наши умозаключения корректны? На самом деле, не можем. Время от времени в опубликованных в книгах доказательствах открываются ошибки, так что, похоже, что ошибки остаются. Вы можете попытаться обойти трудность, утверждая, что математические объекты вообще не существуют, даже вне времени. Но какой смысл имеет утверждение, что мы имеем надежное знание об области несуществующих объектов?
Другой друг, с которым я обсуждал платонизм, это английский математический физик Роджер Пенроуз. Он придерживается взгляда, что истины математического мира имеют реальность, не охватываемую любой системой аксиом. Он следует великому логику Курту Гёделю в утверждении, что мы можем непосредственно обосновать истины по поводу математической реальности — истины, которые находятся за пределами формального аксиоматического доказательства. Однажды он сказал мне нечто, подобное следующему: «Ты определенно прав, что один плюс один равно два. Это факт по поводу математического мира, что ты можешь ухватиться за свою интуицию и быть в ней уверен. Так что один-плюс-один-равно-два является само по себе достаточным подтверждением, что доказательство может преодолеть время. А как насчет два плюс два равно четыре? Ты уверен в этом тоже! Теперь как насчет пять плюс пять равно десять? Ты и в этом не сомневаешься? Так что имеется очень большое число фактов о не зависящей от времени реальности математики, которые ты уверен, что знаешь». Пенроуз верит, что наш разум может преодолеть постоянно изменяющееся течение жизненного опыта и дотянуться до вечной безвременной реальности за его пределами[16].
15
Также
16
Многие другие великие математики верили в это, например Ален Конн. См. Jean-Pierre Changeux & Alain Connes,