Николай Александрович Вельяминов родился в Санкт-Петербурге 15 февраля 1855 г. В 1877 г. окончил медицинский факультет Московского университета и был назначен младшим ординатором хирургического отделения Тифлисского госпиталя. Во время Русско-турецкой войны в течение 4 месяцев находился в походе с 155-м пехотным Кубанским полком, позже занимался лечением тифозных больных в Александропольском госпитале, где переболел тяжёлой формой тифа. В 1880 г. участвовал в Ахал-Текинской экспедиции генерала М.Д. Скобелева. В 1883 г. защитил докторскую диссертацию. Осенью 1892 г. был назначен сопровождать императора Александра III на манёвры в Ивангород и Спалу. 27 февраля 1894 г. назначен старшим врачом Лейб-гвардии Семёновского полка. 17 апреля 1894 г. ему было пожаловано звание почётного лейб-хирурга. 10 сентября того же года назначен сверхштатным врачом императорской Главной квартиры. И тогда же был избран профессором хирургической клиники Военно-медицинской академии.
Н.А. Вельяминов в течение многих лет состоял членом Главного управления Красного Креста; во время Китайской войны (боксёрского восстания 1899–1901 гг.) блестяще исполнял роль главноуполномоченного Красного Креста на Дальнем Востоке — в Китае, Маньчжурии, Приамурье — и в Восточной Сибири. Ему, кстати говоря, принадлежит приоритет в учреждении Красного Креста на море: он был организатором снаряжения и отправления первого в России плавучего лазарета «Царица», предназначенного для нужд эвакуации пострадавших морем.
Благодаря его неустанной энергии и знанию дела Максимилиановская лечебница, директором которой он был с 1893 г., приняла вполне современный, благообразный, опрятный до кокетливости вид. В ней впервые было открыто ортопедическое отделение с новейшими аппаратами, гимнастическим залом, помещениями для массажа.
Во время болезни императора Александра III Вельяминов принимал активное участие в организации лечения и проведения консультаций профессорами Лейденом и Захарьиным. Нужно отметить, что консультанты неохотно делились с ним объективной медицинской информацией о состоянии императора, которого сильно беспокоили всё увеличивающиеся отёки на ногах. Лейден предложил в качестве паллиативной меры ввести под кожу ног через маленькие разрезы серебряные трубочки для оттока жидкости. Однако Вельяминов как хирург не только категорически не согласился с этим предложением, но и отказался присутствовать при такой операции, если кто-нибудь согласится сделать её. Прибывший в Ялту 18 октября 1894 г. харьковский профессор Грубе, пользовавшийся авторитетом у императора, одобрил решение Вельяминова, заявив ему, что «непонимающая публика несомненно скажет, что государь погиб от неудачной операции, хотя эту манипуляцию даже нельзя назвать операцией, а виновниками смерти сочтут хирургов… Не беспокойтесь. Мы не так просты, чтобы дать себя провести: это приём терапевтов, нам хорошо известный; когда они предвидят наступление конца и чувствуют свою беспомощность, они любят передавать активную роль нам, хирургам, чтобы на нас свалить всю ответственность, хорошо зная, что невежественная публика при смерти больного после малейшего оперативного вмешательства всегда склонна объяснить смерть не болезнью и беспомощностью терапевтов, а неудачной операцией, в чём, несомненно, виноваты хирурги».
19 октября, за сутки до смерти, император встал в последний раз, оделся, сам перешёл в кабинет к своему письменному столу, где в последний раз подписал приказ по военному ведомству, и здесь же упал в обморок. В течение последних суток с ним оставался один Вельяминов. Пришедший в себя Александр III находил в себе силы проявить заботу о враче. «Он непрерывно курил, предлагал мне курить, — вспоминал Вельяминов. — „Мне так совестно, что вы не спите которую ночь, я вас совсем замучил“. Уже утром 20 октября он произнёс ещё одну характерную фразу: „Видно, профессора меня уже оставили, а вы, Николай Александрович, ещё со мной возитесь по вашей доброте сердечной“».
Вскоре началась агония. Вместе с другими докторами Н.А. Вельяминов находился у изголовья умирающего монарха.
…1 января 1897 г. ему было пожаловано звание лейб-хирурга двора Его Величества. 3 марта 1898-го Н.А. Вельяминова назначили инспектором Придворной медицинской части.
В 1902 г. торжественно отмечалось 25-летие учёной и общественной деятельности Вельяминова, по поводу чего был издан специальный отчёт. В нём, в частности, была помещена телеграмма принца А.П. Ольденбургского:
«Приветствую сегодня вас как даровитого хирурга и искренно благодарю за оказанную мне помощь в моей болезни».