КСЧ, КЧС, СКЧ, СЧК, ЧКС, ЧСК.
Эти шесть сочетаний можно получить более элегантным способом. Если рассматривать первое положение, можно выбирать из трех шаров, во втором положении остается два варианта, а в третьем — один. Количество вариантов равно 3-21 = 6. Для случая с n разноцветных шаров этот метод легко расширить. Для первого положения у нас л вариантов, для второго остается (n - 1) и так далее. Конечное выражение следующее:
n · (n - 1) · (n - 2) · (n - 3) · (...) · 1 = n!,
то есть ранее определенная факториальная функция. Однако это выражение несправедливо, если разные шары обладают одним и тем же цветом. В этом случае многие сочетания окажутся равнозначными, поскольку не будет способа различить одинаковые шары. Для этого нужно разделить все возможные сочетания между шарами одного и того же цвета; то есть сначала берутся все возможные сочетания, если бы шары были различимы, а затем исключаются те, к которым это предположение неприменимо. Если существует nА шаров цвета 1, n2 цвета 2 и так далее до цвета р, то общее число сочетаний окажется:
р = n!/(n1! · n2! · n3!...nр!).
Это та же самая формула, которая используется для множества молекул, где число частиц равно n, а различные возможные состояния энергии идут от 1 до р. Применяемое рассуждение точно такое же, и именно им воспользовался Больцман в своей статье 1877 года для вычисления числа комплексий, совместимых с некоторым распределением.
| 11. | 0001222 | 140 |
| 12. | 0011113 | 105 |
| 13. | 0011122 | 210 |
| 14. | 0111112 | 42 |
| 15. | 1111111 | 1 |
Вероятность каждого состояния можно вычислить, разделив число совместимых с ним комплексий на общее число комплексий. Этот относительно простой расчет давал представление о том, что Больцман осуществил позже, хотя и в намного более сложном с математической точки зрения виде. Далее он получил общее выражение для числа перестановок распределения, на этот раз предположив, что число молекул, во-первых, очень велико, а во-вторых, что энергия принимает непрерывные значения. Наконец, он ввел выражение "степень перестанавливаемости", которое определил как логарифм числа перестановок.
Произведя расчеты, Больцман выяснил, что выражение степени перестанавливаемости равно величине H из его предыдущей статьи с измененным знаком; это было важно, поскольку величина Я равна энтропии со знаком минус. Итак, степень перестанавливаемости могла быть использована как мера энтропии системы. Больцман, должно быть, осознавал важность своего результата, поскольку в заключение подчеркивал:
"Хорошо известно, что когда система тел подвергается чисто обратимой трансформации, общая энтропия остается постоянной. Если, наоборот, среди трансформаций, которым подвергается система, есть хоть одна необратимая, энтропия может только увеличиваться [...]. Что касается предыдущего отношения, то же самое справедливо для [...] меры перестанавливаемости для множества тел. Эта мера перестанавливаемости, следовательно, является величиной, которая, находясь в состоянии термодинамического равновесия, совпадает с энтропией [...], но она также имеет значение в необратимых процессах, где она постоянно увеличивается".
Американский физик Джозайя Уиллард Гиббс внес значительный вклад как в химию, так и в физику и ввел термин "статистическая физика". Это был скромный гений со склонностью к отшельничеству: ббльшую часть жизни он прожил в доме своей сестры и, унаследовав немалое состояние своего отца, на добровольных началах преподавал в Йельском университете. Гиббс провел небольшой период времени в Европе, не упустив возможность посетить лекции Кирхгофа и Гельмгольца среди прочих. Позже, несмотря на то что он почти не выезжал из своего родного города, он вел переписку с другими физиками, особенно с Максвеллом, который был в восторге от его работы. Эйнштейн даже говорил, что Гиббс — "самый блестящий ум в истории Америки".