Основная идея Байеса, попросту именуемая «теоремой Байеса», — это способ рассуждения о субъективных вероятностях. Она позволяет нам ответить на следующий вопрос. Допустим, у нас есть различные убеждения, каждому из которых соответствует собственная субъективная вероятность. Затем мы собираем информацию и узнаём что-то новое. Как эта информация повлияет на исходные степени субъективной вероятности? Этот вопрос мы должны задавать себе снова и снова, выясняя новые факты о мире.
* * *
Допустим, вы с другом играете в покер. В игре сдаётся по пять карт, затем вы можете сбросить определённое их число и заменить другими. Вы не видите карт соперника, поэтому в самом начале не знаете о его раздаче ничего, за исключением того, что у него нет конкретных карт, которые есть у вас. Однако о полном неведении речь не идёт: вы знаете, что одни раздачи могут выпадать с большей вероятностью, чем другие. Относительно вероятно, что соперник получит при раздаче пару или вообще никаких комбинаций. Получить при первой же раздаче флеш (пять карт одной масти) удаётся достаточно редко. Расчёты показывают, что случайная раздача из пяти карт примерно в 50% случаев будет «пуста», в 42% случаев будет содержать пару, а флеш выпадает всего в 0,2% случаев, не говоря уже о других возможностях. Эти исходные шансы называются априорными субъективными вероятностями. Вы опираетесь на них прежде, чем узнаёте что-то новое.
Однако затем кое-что происходит: друг сбрасывает некоторое число карт и берёт из колоды столько же карт на замену. Это новая информация, на основании которой вы можете уточнить априорные вероятности. Допустим, он решил сбросить всего одну карту. Что мы теперь можем сказать о его раздаче?
Вряд ли у него пара; в противном случае он сбросил бы три карты, максимально повышая шансы, что пара вырастет до тройки или каре. Аналогично, если бы в начале у него была тройка, он, вероятно, сбросил бы три карты. Сброс одной карты также вполне согласуется с гипотезой, что у него уже две пары или каре; в таком случае он сохраняет все свои важные карты. Кроме того, это может означать, что у него четыре карты одной масти (которые он надеется дорастить до флеша) или четыре карты подряд (которые можно дорастить до стрита). Такие варианты разумных ходов называются «вероятностью» проблемы. Совместив априорные субъективные вероятности с объективными вероятностями, мы получаем обновлённые субъективные вероятности, отличающиеся от тех, что были сразу после раздачи. Пожалуй, будет сложнее определить, каковы окажутся комбинации соперников после окончания набора, но для покерной акулы в этом нет ничего невозможного. Такие обновлённые вероятности обычно именуются апостериорными.
Это «абдукция». Основа науки и других форм эмпирических рассуждений. Теорема Байеса — это количественное выражение такой неформальной логики. Она предлагает универсальную модель рассуждения о степени уверенности: априорные субъективные вероятности уточняются по мере поступления новой информации и в зависимости от того, насколько эта информация согласуется с каждой из исходных возможностей.
* * *
В байесовских рассуждениях особенно интересен такой акцент на априорных субъективных вероятностях. Случай с покерными раздачами не слишком впечатляет: априорные вероятности напрямую проистекают из шансов получить различные карты. Но область применения этой концепции гораздо шире.
Допустим, как-то вечером вы с другом пьёте кофе, и тут он высказывает одно из следующих трёх утверждений:
• «Сегодня утром мимо моего окна проехал велосипедист»;
• «Сегодня утром мимо моего окна проскакал всадник»;
• «Сегодня утром мимо моего окна проскакал всадник без головы».
В каждом случае вы получаете, в сущности, равнозначную информацию: друг уверенно сообщает вам один из трёх фактов. Тем не менее субъективная вероятность, то есть степень достоверности, которую вы присвоите каждой из озвученных возможностей, во всех трёх случаях принципиально различается. Если вы живёте в городе или пригороде, то гораздо легче поверить в то, что друг видел велосипедиста, нежели всадника, — разве что офицеры полиции у вас в городе часто ездят верхом либо в городе проводят родео. Если вы живёте в сельской местности, где лошади не редкость, а дороги незаасфальтированы, то встреча со всадником может показаться вероятнее, чем встреча с велосипедистом. Наконец, вы значительно более скептически отнесётесь к утверждению о том, что мимо окна проскакал всадник без головы.
В данном случае у вас просто есть априорные вероятности. В зависимости от того, где вы живёте, априорная субъективная вероятность встречи с велосипедистом или всадником будет варьироваться, но в любом случае вероятность встретить всадника без головы однозначно гораздо ниже, чем всадника с головой. Это совершенно нормально. На самом деле, любой байезианец вам расскажет, что иначе и быть не может. Всякий раз, когда мы рассуждаем о вероятной истинности различных утверждений, наш ответ есть комбинация априорной субъективной вероятности, которую мы присваиваем данному утверждению, и вероятности получения различной новой информации, позволяющей проверить истинность этого утверждения.