В ходе этой процедуры априорные субъективные вероятности перевзвешиваются и дают в итоге апостериорные субъективные вероятности. Можно начать с ситуации, когда в нескольких баночках содержится примерно поровну песчинок — это означает, что субъективные вероятности равны. Но затем мы получаем новую информацию, которая будет вероятна при одних посылках и маловероятна при других. Мы убираем совсем немного песка из тех баночек, для которых эта информация была вероятна, и много песка из тех, для которых маловероятна. Получается, что в баночках, которым соответствует наибольшая степень вероятности, скапливается больше песка — их апостериорная субъективная вероятность оказывается выше. Разумеется, если наша априорная субъективная вероятность для одной из посылок была гораздо выше, чем для альтернативных версий, то нам придётся удалить из «её» баночки очень большое количество песка (собрать много данных, кажущихся маловероятными при данной посылке), чтобы присущая данной посылке субъективная вероятность стала небольшой. Когда априорные показатели очень низки или очень высоки, нам понадобятся нетривиальные данные, чтобы эти субъективные вероятности изменились.
* * *
Рассмотрим другой пример: вы, старшеклассник, влюбились в девушку и хотите пригласить её на выпускной бал. Вопрос: она согласится или откажет? Итак, есть две разные посылки: «да» (она пойдёт с вами на выпускной бал) или «нет» (откажет), причём для каждой посылки есть субъективная априорная вероятность. Будем оптимистичны и присвоим субъективную вероятность 0,6 положительному ответу и 0,4 отрицательному (разумеется, общая субъективная вероятность всегда должна давать в сумме единицу). Ставим две баночки, в одну насыпаем 60 песчинок («да»), в другую — 40 («нет»). Общее число песчинок не имеет значения — важны лишь относительные пропорции.
Далее мы собираем информацию и на её основании уточняем априорные вероятности. Вы стоите у шкафчика с одеждой, а мимо по коридору идёт ваша пассия. Она с вами поздоровается или просто пройдёт мимо? Это зависит от её отношения к вам: гораздо вероятнее, что она остановится и поприветствует вас, если также склонна составить вам компанию на выпускной. Вы недурно разбираетесь в человеческих взаимоотношениях и понимаете, что, если верна посылка «да», девушка остановится и поприветствует вас в 75% случаев, а в 25% случаев просто пройдёт мимо (может быть, она просто не в духе). Однако, если верна посылка «нет», ситуация уже не столь радужная: в 30% случаев девушка скажет «привет», а в 70% случаев пройдёт мимо. Таковы шансы на получение различной информации при верности тех или иных посылок. Давайте соберём данные и уточним наши априорные субъективные вероятности!
Допустим, к вашей радости, пассия останавливается и говорит: «Привет!». Каковы шансы, что она примет приглашение на выпускной бал? Преподобный Байес предписывает нам убрать 25% песчинок из банки «да» и 75% песчинок из банки «нет» (в обоих случаях это соответствует доле случаев, в которых наблюдаемый результат не состоялся бы). У нас осталось 60 × 0,75 = 45 песчинок в баночке «да» и 40 × 0,30 = 12 песчинок в баночке «нет». Согласно вышеприведённому правилу песчинок, уточнённая субъективная вероятность для «да» — это число песчинок в баночке «да» (45), делённое на общее число песчинок в обеих баночках (45 + 12 = 57). Получается 0,79.
Неплохо! Субъективная вероятность положительного ответа на приглашение повысилась с 60% (априорная) до 79% (апостериорная), притом что девушка просто остановилась и поздоровалась с вами! Думаю, уже надо костюмчиком озаботиться.
Однако постарайтесь уловить под грузом математических деталей основной посыл. В байесовской философии любая посылка (суждение) о мире, которая может быть истинной или ложной, получает априорную субъективную вероятность. Каждая такая посылка также сопровождается набором объективных вероятностей: шансов на истинность различных иных фактов при условии истинности данной посылки. Всякий раз, получая новую информацию, мы корректируем степень уверенности, умножая исходную субъективную вероятность на соответствующую объективную вероятность сделать такое наблюдение при условии истинности каждой из посылок. В виде формулы это выглядит следующим образом:
(Субъективная вероятность посылки X при наличии наблюдения D) ∝ (Шанс получить наблюдение D при посылке X) × (Априорная субъективная вероятность посылки X)
Это суть теоремы Байеса. Символ «∝» означает «пропорционально». Он просто напоминает: нужно удостовериться в том, что все значения субъективной вероятности в сумме должны давать единицу.