Созданный нами график имеет стандартное линейное масштабирование; каждый сегмент вертикальной оси обозначает дополнительные 2000 трибблов. Такая разметка отлично служит множеству целей, однако, как мы видели, не позволяет адекватно передавать динамику экспоненциального роста. Чтобы сильнее выделить ее, давайте изменим шкалу на логарифмическую, в которой каждый отрезок вертикальной оси соответствует 10-кратному увеличению количества трибблов: сначала с 1 до 10, потом с 10 до 100, потом со 100 до 1000 и так далее. Иными словами, мы масштабируем ось по степеням числа 10, или порядкам.
Логарифмические графики обладают прекрасным свойством: они изображают экспоненциальный рост в виде идеально прямой линии. Вот как выглядит рост семейства трибблов Энди при применении логарифмической шкалы:
Рис. 3.2. Трибблы по прошествии времени: сила постоянного удвоения
Такое графическое представление подчеркивает стабильность удвоения со временем намного лучше, чем большие цифры в конце. Именно по этой причине мы часто используем логарифмические шкалы для графиков удвоения и отображения других примеров экспоненциального роста. Они выглядят как прямые линии, и для них намного проще рассчитать скорость развития; чем больше экспонента, тем быстрее они растут и тем более крутым становится наклон линии.
Обедневшие императоры, обезглавленные изобретатели и вторая половина шахматной доски
Наш мозг не так уж хорошо оснащен для того, чтобы понимать суть устойчивого экспоненциального роста. В частности, мы серьезно недооцениваем, насколько сильно могут вырасти цифры. Изобретатель и футуролог Рэй Курцвейл пересказывает в этой связи одну старую историю. Игра в шахматы зародилась на территории современной Индии в VI веке н. э., во времена империи Гупта.[70] Говорят, что она была изобретена одним очень умным человеком, который отправился в столицу империи, город Паталипутру, и показал свое творение императору. Властителю так понравилась сложная и красивая игра, что он тут же попросил изобретателя сказать, какую награду тот хочет за нее получить.
Изобретатель поблагодарил императора за щедрость и сказал: «Все, что мне нужно, – это немного риса, чтобы прокормить семью». Поскольку щедрость императора была напрямую связана с изобретением шахмат, то изобретатель предложил воспользоваться шахматной доской для определения причитающегося ему объема риса. «Положите одно зерно риса на первую клетку доски, два – на вторую, четыре – на третью и так далее, – предложил изобретатель, – так, чтобы на каждой следующей клетке было в два раза больше зерен, чем на предыдущей».
«Да будет так», – ответил император, пораженный такой скромностью изобретателя.
Закон Мура и упражнение с трибблами помогают нам увидеть то, чего не увидел император, – 63 последовательных удваивания приводят к появлению невероятно большого числа, даже если последовательность начинается с единицы. Если бы просьба изобретателя была удовлетворена, то он получил бы 264–1, или свыше восемнадцати квинтильонов зерен риса. Куча риса такого размера могла бы похоронить под собой гору Эверест; это количество риса больше, чем было выращено за всю историю нашего мира. Конечно же, император не мог исполнить эту просьбу. В некоторых версиях легенды, как только император понимает, что его надули, он тут же приказывает обезглавить изобретателя.
Курцвейл пересказывает историю изобретателя и императора в своей книге 2000 года The Age of Spiritual Machines: When Computers Exceed Human Intelligence («Эпоха духовных машин: когда компьютеры превосходят человеческий разум»). С помощью этого примера он стремится не только проиллюстрировать силу устойчивого экспоненциального роста, но и указать на точку, в которой цифры становятся настолько большими, что их уже невозможно себе представить:
После 32 клеток император был должен отдать изобретателю около 4 миллиардов зерен риса. Это довольно значительное количество – такой объем выращивается на довольно крупном поле, – и император почуял неладное. Однако император все еще мог оставаться императором. А изобретатель еще мог сохранить свою голову. Проблемы как минимум у одного из них начались, как только они перешли на вторую половину шахматной доски.[71]
Главная мысль Курцвейла состоит в том, что, хотя числа и становятся достаточно большими уже на первой половине шахматной доски, мы все равно способны осознать их реальность. Четыре миллиарда не слишком выходят за пределы нашей интуиции. Мы имеем дело с этим числом, убирая урожай, оценивая состояния богатейших людей мира или уровень национального долга. Однако на второй половине шахматной доски – там, где числа превращаются в триллионы, квадрильоны и квинтильоны, – мы перестаем улавливать их смысл. Мы теряем ощущение того, как быстро растут эти цифры по мере развития экспоненциального роста.
71
Ray Kurzweil, The Age of Spiritual Machines: When Computers Exceed Human Intelligence (London: Penguin, 2000), стр. 36.