Среди бесконечных множеств самыми «малыми» являются счетные множества. Они имеют бесконечное число элементов, которые могут быть взаимно однозначно сопоставлены натуральному ряду чисел. А это значит — их элементы могут быть пересчитаны. У всех бесконечных множеств появляется качественно новое свойство, они обладают «собственной частью». Его можно разделить на части, так, что число элементов в части и во всем множестве будет одинаковым. Типичный пример — четные и нечетные числа. Они являются частями натурального ряда, но содержат ровно столько элементов, как и натуральный ряд, из которого они выделены. Разбиение бесконечного множества не всегда приводит к уменьшению элементов в частях. И если внимательно всмотреться в первый стих Евангелия от Иоанна, то мы увидим, что Бог у него эквивалентен бесконечному множеству, обладающему собственной частью — Словом (в первоисточнике более общее Логос) которое эквивалентно Богу. Т. е. в этом изречении мы видим закон сохранения мощности множества при его делении. Каким бы способом мы не делили бесконечное множество, его части будут состоять из множеств с конечным и бесконечным числом элементов. Возникает триада множеств увеличивающейся мощности — конечное, счетное и бесконечное множества. В текстах мыслителей древних и не очень мы обнаружим удивительные аналогии. «Душа неуничтожима делением и воздействием» — говорит Кришна. «Дао пустотно, но использованием не исчерпать его» — говорит Лао Цзы. Деление бесконечного множества приводит к увеличению числа элементов. Дени Дидро выразил это с помощью простого и потому гениального примера: Когда два человека обмениваются яблоками, выгоды никто не получает, у каждого остается только по яблоку. Но когда они обмениваются мыслями, то выгоду получает каждый: в результате оказывается у партнеров две мысли — своя и чужая. Это замечательное рассуждение Дидро предвосхитило основное свойство бесконечных множеств, которое впоследствии было строго сформулировано Георгом Кантором. Часть такого множества эквивалентна целому множеству. Бесконечное и иррациональное этим принципиально отличается от конечного и счетного, т. е. от рационального мира.
Любые материальные объекты могут быть смоделированы счетным множеством. Это связано с конечностью и дискретностью материальных объектов. И именно поэтому они обладают метрическими свойствами, т. е. воспринимаются разумом в рамках пространственно-временных моделей.
Наиболее просто результат теоремы К. Геделя, приводящий к необходимости введения понятия иррационального в науку, может быть проиллюстрирован следующим образом. Пусть на бесконечной прямой в рамках какой либо логики выбран набор точек. Пусть это будут точки, соответствующие корням какой либо тригонометрической функции, например, синуса. Тогда между этими точками всегда найдется бесконечное количество других точек, корнями синуса не являющимися. Это могут быть, например, корни функции Бесселя или еще что угодно. Главное, что закономерностей, не укладывающихся в рамки выбранной нами логики, существует сколь угодно много. Но что замечательно, все эти точки объединяются одной прямой, множеством точек, которое имеет мощность континуума, иррациональную мощность. Иррациональное множество включает в себя счетное множество рациональных подмножеств, построенных по самым разным законам. Аналогично иррациональное содержит в себе потенциально все возможные рациональные миры, свойства которых определяются конкретными наборами индивидуальных объектов. Эти объекты существуют в соответствии с некими закономерностями, возникшими случайным образом из иррационального. Так все рациональные миры и любые рациональные объекты вообще объединяются одной иррациональной сутью.
Наряду с рациональными множествами, которые обладают метрическими свойствами, существуют иррациональные числа. Они моделируют виртуальные частицы. Они не подчиняются пространственно-временным закономерностям. Они эфемерны. Но они определяют законы поведения элементарных частиц и правила построение из них групповых структур. Это частицы действия, частицы полей. Вообще назначение иррационального — придать жизнь, движение рациональным, счетным формам. Иррациональные числа, так же как и виртуальные частицы, как бы склеивают рациональные структуры, находясь всюду между ними, заполняя собой все. В этом смысле весьма удачно название одного из видов виртуальных частиц, именуемых глюонами (клеем). Неосязаемых, но вездесущих.