Но для математика это наивный вопрос. Конечность мира не предполагает его ограниченность, говорит проф. Кольман. Это «наглядно» показывают («по аналогии») конечные и замкнутые, но вовсе не ограниченные многообразия одного и двух измерений. Давайте последуем совету докладчика и попробуем «наглядно» убедиться в конечности мира по математическим моделям этой конечности.
Возьмем одномерное замкнутое многообразие. Примером его является окружность.
Что здесь характерно? Что определяет окружность как одномерное многообразие? То, что каждая точка окружности есть ее внутренняя точка или, как говорят математики, каждая точка является гомеоморфным образом интервала. Следовательно, данное многообразие является конечным, замкнутым, но не ограниченным, ибо оно ни с чем, кроме себя, не граничит.
Здесь может последовать вопрос: но ведь линия ограничена, так сказать, «с боков». Математик этот вопрос отвергнет и скажет: так как по условию это — одномерное многообразие, то не может быть и речи о «боках», их не существует, ибо это уже второе измерение.
Такова первая аналогия, которая должна «наглядно» убедить нас в конечности мира.
Примерами двумерного многообразия могут являться или поверхность обыкновенного бублика («тор»), или сфера, или поверхность цирковой гири («сфера с n ручками»). Здесь также каждая точка поверхности есть ее внутренняя точка (гомеоморфная внутренности круга). Поэтому здесь нет границ, хотя многообразие конечно и замкнуто.
<…> На мой взгляд, всякая попытка от образа трехмерного конечного и неограниченного многообразия умозаключать к конечности реального, физического, а не математического пространства есть глубоко ошибочная вещь. И именно «наглядные» аналогии проф. Кольмана свидетельствуют об этом. Они показывают, что любое исследование математических многообразий не решает вопрос о конечности или бесконечности мира. Мы действительно можем дать математическую модель конечного трехмерного мира и утверждать, что эта модель неограниченна. Но эта модель не исчерпывает и не может исчерпать свойств реального пространства. Больше того, я осмелюсь утверждать, что признание конечности не математического, а реального, физического пространства, несомненно, ведет к признанию его физической ограниченности, реальной ограниченности в реальном мире, а не в мире математических абстракций.
Я глубоко уважаю математику. Это, бесспорно, доказательная вещь. Это даже красивая вещь. Но позвольте мне напомнить слова Энгельса: «…если только мы привыкнем приписывать корню квадратному из минус единицы или четвертому измерению какую-либо реальность вне нашей головы, то уже не имеет особенно большого значения, сделаем ли мы еще один шаг дальше, признав также и спиритический мир медиумов». И мне кажется, что все попытки, опираясь на замкнутые, но неограниченные математические многообразия, приходить к выводу о конечности мира есть именно такой шаг.
В о з р а ж е н и е 2. Если мир конечен, то развитие ограниченно.
Проф. Кольман не согласен: материя сохраняет бесконечность развития во времени и вглубь.
Проф. Кольман прав, конечно, что материя развивается бесконечно во времени. Но это не только не служит доказательством конечности мира (как, впрочем, и любое другое логическое рассуждение), но, напротив, говорит именно в пользу бесконечности мира в пространстве. Ибо с точки зрения современных физических представлений о пространстве и времени вряд ли можно признавать бесконечность времени и конечность пространства, вряд ли можно разрывать единый пространственно-временной континуум на бесконечную и конечную части.
Таковы два логических рассуждения докладчика. Они наглядно свидетельствуют как о беспомощности логики в данном вопросе, так и о бесплодности попыток дедуцировать конечность мира из математических абстракций.
Гораздо интереснее рассмотреть те естественно-научные факты, которые заставляли и по сей день заставляют многих физиков и философов ставить вопрос о конечности мира в пространстве (а зачастую и во времени).
Факты эти следующие:
1. Гравитационный парадокс. Если применить закон тяготения Ньютона ко всей бесконечной массе Вселенной (признав, что средняя плотность не равна нулю), то мы не получим определенного конечного результата.
2. Фотометрический парадокс. Если применить ко всей Вселенной законы яркости, то небо отнюдь не должно быть ночью черным.
3. Метагалактическое «красное смещение». В спектрах внегалактических туманностей линии смещены в сторону красного конца. Все попытки найти этому физическое объяснение (кроме применения продольного эффекта Доплера) не дали результатов. Остается принять, что эти туманности удаляются от нас.