За пределами статистики математика не столь уютно себя чувствует с нечеткой логикой[30], неопределенностями, сложными интерактивными системами и нестабильными состояниями, хотя определенный прогресс наблюдается во всех этих областях.
Один из важнейших факторов, ограничивающих возможности математики, относится не к самой математике, а к переводу понятий на язык математики. Как нам перевести, к примеру, «справедливость» и «счастье» в символы или формы, подходящие для того, чтобы их можно было обработать средствами математики? Как определить сдвиг в отношениях с требуемой точностью? Абсолютная точность не нужна, поскольку математика может оперировать вероятностными величинами, но консенсус все равно необходим.
Возможно, со временем нам придется отказаться от нашего обычного языка, основанного на переменчивом восприятии, при работе с фундаментальными вещами. Вместо того чтобы использовать слово «счастье», мы, например, будем измерять концентрацию определенных элементов в крови. Сможем ли мы также находить решение, определяя, как ведут себя во времени концентрации некоторых химических агентов? Если бы мы даже научились все это делать, интерактивная сложность всей системы сделала бы задачу немыслимо трудной.
Великому французскому математику Декарту (чье имя получила прямоугольная система координат) однажды поведали историю о том, как Архимед поджег наступающие римские суда, направив на них солнечные лучи. Будучи математиком, Декарт пришел к выводу, что для выполнения такой задачи потребовалось бы вогнутое зеркало очень большого диаметра. Поскольку это было явно за пределами технических возможностей того времени, данная история, на его взгляд, являлась очередным мифом, в который верят люди, не знающие математики. Пятьдесят лет спустя другой француз провел практический эксперимент и показал, что это возможно, если использовать плоские цельнометаллические щиты греческих воинов того времени. Идея состояла в том, что такое «зеркало» могло быть сделано из отдельных плоских фрагментов и даже не должно было быть единой поверхностью. Каждый солдат просто использовал бы свой щит, направляя лучи солнца в одно и то же место. Таким образом, математические выкладки Декарта были верными, зато исходные предпосылки — нет.
В 1941 году математик по имени Кэмпбелл взялся доказать, что для полета на Луну масса ракеты на старте должна быть около миллиона тонн. Расчеты, выполненные им, были верны, однако технология ракетного топлива допускала гораздо меньшую массу ракеты на старте.
В течение многих лет различные ученые утверждали, что доказали невозможность изобретения летательного аппарата, приводимого в движение мускульной силой человека, поскольку человеческое тело не в состоянии генерировать достаточно силы, чтобы поднять в воздух аппарат, способный выдержать вес человека. Моему другу Полу Маккриди это все же удалось, и тем самым он заслужил премию Кремера[31]. Это стало возможным благодаря изменению исходной концепции полета и наличию более прочных и легких материалов.
Все эти три истории показывают, что математика может давать верные выводы, однако при этом неверными являются начальные предпосылки, концепции и знания.
Экономисты находят большое удовольствие в конструировании сложных моделей с множеством связей, симулирующих реальную экономическую деятельность. Считается, что такие модели способны помочь в прогнозировании, например того, что случится при повышении процентной ставки по кредитам на 1 процент. Недостатком является то, что подобные модели могут принимать во внимание только наши теперешние предпосылки и восприятия. В прошлом рост банковской процентной ставки порой отпугивал многих от взятия денег в кредит для покупки дома. Сегодня же, с учетом растущей осведомленности людей в финансовых вопросах и богатства источников информации по различным финансовым нюансам, рост процентной ставки может служить сигналом для инфляционных опасений, в результате имеет место стремление вкладывать все больше денег в недвижимость, защищенную от инфляции. Поэтому старая модель, отражающая прошлые взгляды на мир, становится бесполезной.
Сегодня экономическое поведение примерно на 70 процентов обусловлено психологическими и перцепционными факторами и лишь на 30 — математико-рациональными.
Отнюдь не подвергая сомнению величие математики, мы должны признать, что эта наука оказывает небольшое прямое воздействие на человеческие отношения ввиду того, что область применения математики ограничена, и по причине трудности перевода человеческих отношений с достаточной определенностью на язык, подходящий для обработки его математическими средствами.
Или/или
Правильно/ошибочно
Истинно/ложно
Виновен/невиновен
Мы/они
Друг/враг
Принципиальность/беспринципность
Тирания/свобода
Демократия/диктатура
Справедливость/несправедливость
Естественный/неестественный
Цивилизованный/варварский
Капиталистический/марксистский
В приведенном списке дихотомий можно усмотреть источник, из которого наше обычное мышление черпает энергию. С дихотомиями мы ощущаем всю мощь настольной логики. Имея в своем распоряжении дихотомии, традиционная логика приближается по возможностям к сконструированной системе, к которой она стремится как к идеалу. Пусть существует нечто, что мы знаем по опыту, и для обращения с этим мы имеем восприятие и язык. Противоположность этому является намеренной конструкцией и имеет противоположное значение.
К сожалению, как я отмечал ранее, разум не может с легкостью представить себе абстрактную противоположность, поэтому спешит противопоставить ей пример из опыта. Посему не белая шахматная фигура воспринимается как черная.
Принцип взаимоисключения по-настоящему применим только в случае, когда две рассматриваемые категории являются действительно взаимоисключающими. На практике обнаружить таковые весьма сложно, поэтому мы намеренно создаем такие мысленные взаимоисключающие категории, которые и являются нашими высокочтимыми дихотомиями. Без них принцип взаимоисключения и определенность нашей логики многое потеряли бы.
Кто-нибудь дает вам лист бумаги в клетку — как в школьных тетрадках — и сообщает, что загадал одну из клеточек. Вы должны отгадать ее, задавая вопросы, требующие ответа только «да» или «нет». Поэтому вы проводите линию, деля лист пополам, и называете одну половину А, а другую — Б. Вы спрашиваете: «Эта клетка на половине Л?» Если ответ «нет», тогда клетка должна быть на половине Б — ей просто негде больше быть. Теперь вы начисто забываете о половине А и делите Б тоже пополам, обозначая каждую половину как прежде. Вы снова задаете свой вопрос. В конце концов вы дойдете до требуемой клетки. Идея, лежащая в основе данной простой стратегии, состоит в том, что в каждый момент времени клетка находится либо в А, либо в не-А (то есть в Б). Нигде больше клетка находиться не может. Так же как и не может она находиться одновременно и в области Л, и в области Б.
В нашем использовании дихотомий мы преследуем именно эту логическую простоту и определенность. Если нечто не истинно, конечно же, оно должно быть ложным. Если что-нибудь не ложно, то, ясное дело, оно должно быть истинным. Речь идет о категоричной поляризации, не допускающей промежуточных значений. Вместе с тем нечто может быть частично истинным и частично ложным. Частичное восприятие (которое «экономно отмеряет истину»), столь любимое прессой, это когда нечто несомненно истинное преподносится таким образом, что производит ложное впечатление. А как насчет иллюзии? Это нечто, что мы можем принимать за истину, но другие усматривают в этом ложь.
30
В математике: продолжение булевой алгебры, имеющее дело с понятием частичной истины, нечеткими множествами и тому подобным. —
31
Одна из двух премий промышленника Генри Кремера, учрежденных в 1959 году и присуждаемых за: 1) облет на летательном аппарате, приводимом в движение мускульной силой пилота, по траектории в виде восьмерки двух столбов на расстоянии полумили друг от друга на высоте в начале и в конце полета не менее трех метров над землей — в размере 50 тысяч фунтов стерлингов; 2) перелет на таком же аппарате через Ла-Манш — в размере 100 тысяч фунтов стерлингов. —