Точно так же как в примере с двумерной вселенной садового шланга, четырехмерная вселенная Калуцы — Клейна с одним крохотным свернутым измерением будет казаться нам имеющей на одно измерение меньше, чем те четыре, которые есть на самом деле. Так как мы ничего не можем знать о дополнительном пространственном измерении, пока не сумеем получить свидетельство о его структуре в крохотном масштабе этого измерения, вселенная Калуцы — Клейна будет казаться трехмерной. Свернутые или компактифицированные дополнительные измерения никогда не будут обнаружены, если их масштабы достаточно малы. Позднее мы исследуем вопрос, насколько они должны быть малы, однако сейчас достаточно понимать, что планковская длина находится далеко за порогом измеримости.
В жизни и в физике мы регистрируем только те детали, которые действительно для нас важны. Если вы не можете наблюдать детальную структуру, вы можете с тем же успехом считать, что ее нет. В физике это пренебрежение локальными деталями реализуется в идее эффективной теории, о чем шла речь в предыдущей главе. Все, что имеет значение в эффективной теории, — это вещи, которые вы можете реально воспринимать. В приведенном выше примере мы будем использовать трехмерную эффективную теорию, в которой подавлена информация о дополнительных измерениях.
Хотя свернутое измерение во вселенной Калуцы — Клейна находится рядом с нами, оно так мало, что любое изменение в нем является незаметным. Точно так же, как различия между жителями Нью-Йорка не имеют никакого значения для приезжего, структура дополнительных измерений вселенной несущественна, когда ее детали изменяются в столь крохотном масштабе. Даже если окажется, что на фундаментальном уровне имеется много больше измерений, чем те, с которыми мы знакомы в повседневной жизни, все, что мы видим, будет описываться с помощью тех измерений, которые мы наблюдаем. Экстремально малые дополнительные измерения ничего не изменяют в нашем видении мира, или даже в том, как мы производим большинство физических расчетов. Даже если дополнительные измерения существуют, но мы неспособны видеть их или знать о них по опыту, то можно ими пренебречь и при этом правильно описывать то, что мы видим. Позднее я познакомлю вас с модификациями этой простой картины, для которых это не всегда будет справедливо, но они будут включать дополнительные предположения.
Еще один важный момент, касающийся свернутого измерения, можно понять из рис. 17, где показан шланг или вселенная с одним измерением, свернутым в окружность. Возьмем любую точку вдоль бесконечного измерения. Заметим, что в каждой без исключения точке находится полное компактное пространство, а именно, окружность. Шланг состоит из всех таких окружностей, склеенных вместе, как те слои, о которых шла речь в гл. 1.
На рис. 18 приведен другой пример. Здесь имеются не одно, а два бесконечных измерения, и одно дополнительное измерение, свернутое в окружность. В этом случае окружность находится в каждой без исключения точке двумерного пространства. И если бы было три пространственных измерения, свернутые измерения существовали бы в каждой точке трехмерного пространства. Вы можете сравнить точки в пространстве с дополнительными измерениями с клетками вашего тела, каждая из которых содержит принадлежащую вам полную последовательность ДНК. Аналогично, каждая точка в вашем трехмерном пространстве должна быть хозяйкой полностью компактифицированной окружности.
До сих пор мы рассматривали только одно дополнительное измерение, свернутое в окружность. Но все, что было сказано, должно выполняться и тогда, когда свернутое измерение принимает другую, вообще говоря, любую форму. Может случиться и так, что имеется два или более крохотных свернутых измерений любой формы. Все без исключения измерения, которые достаточно малы, будут для нас совершенно невидимыми.
Рассмотрим пример с двумя свернутыми измерениями. Эти свернутые измерения могут принимать много разных форм. Мы выберем тор, имеющий форму бублика, в котором два дополнительных измерения одновременно свернуты в окружности. Это показано на рис. 19. Если обе окружности — та, которая навивается через дырку в бублике, и та, которая навивается вокруг самого бублика, — достаточно малы, мы никогда не увидим двух дополнительных свернутых измерений.
Но это только один пример. В случае большего числа измерений имеется огромное количество возможных компактных пространств, т. е. пространств со свернутыми измерениями, отличающихся друг от друга конкретным способом, которым эти измерения свернуты. Одной категорией компактных пространств, важных для теории струн, являются многообразия Калаби — Яу, названные по именам итальянского математика Эудженио Калаби, первым предложившего эти особые формы, и уроженца Китая гарвардского математика Шин Тун Яу, показавшего, что эти формы математически возможны. В этих геометрических формах дополнительные измерения свернуты и закручены весьма необычным способом. Как и во всех случаях компактификации, измерения сворачиваются на малых расстояниях, но они переплетаются таким сложным образом, что это очень трудно нарисовать.