Сколько самолетов понадобится вам для выполнения задания? Для простоты мы будем предполагать, что расход топлива измеряется в милях на галлон[15] и не зависит от нагрузки самолета.
— Знаешь, мы все слишком устали, чтобы решать такие сложные задачи, поэтому ты просто сообщи нам решение, — предложил один из летчиков.
— Будь по-вашему. Предположим, что первоначально в вашем распоряжении имеется n одинаковых самолетов, включая тот, на борту которого находится бомба, и что топливные баки всех самолетов перед вылетом полностью заправлены. В полете наступает такой момент, когда в баках любого из n самолетов топлива остается ровно столько, сколько необходимо для полной заправки топливных баков всех (n — 1) остальных самолетов. Например, если с аэродрома в полет отправились 10 самолетов и каждый нес в топливных баках 10 000 галлонов топлива, то они летят до тех пор, пока у каждого не останется по 9000 галлонов топлива. В этот момент все топливо, находящееся на борту одного из 10 самолетов, используется для дозаправки 9 остальных самолетов, самолет с опустошенными баками прекращает полет, а остальные самолеты продолжат полет с полностью заправленными топливными баками. Следующая дозаправка производится, когда запас топлива в баках каждого самолета уменьшится на 1/9. Самолет-заправщик, отдав все имевшееся у него топливо, совершает посадку, а остальные 8 самолетов с полностью заправленными топливными баками продолжают полет. Следующие дозаправки производятся, когда запас топлива в баках каждого самолета уменьшится на 1/8, 1/7 и т. д., пока не останется один-единственный самолет, на борту которого находится бомба. Израсходовав все топливо до последней капли, он достигает цели и сбрасывает бомбу.
Обозначив дальность полета без дозаправки через R, количество самолетов — через n, мы получаем формулу для расстояния до цели, которое может преодолеть самолет — носитель бомбы:
Например, при n = 10 сумма в квадратных скобках равна 2,929. Это означает, что при такой схеме дозаправки, о которой я только что рассказал, можно долететь до цели, находящейся почти втрое дальше, чем позволяет дальность полета отдельно взятого самолета[16].
Эпилог. Мораль
Книга была написана. Мы втроем, Гамов, Стерн и еще один любитель задач-головоломок Теодор фон Карман[17], сидели в ресторанчике в Вудз Хоул за бутылкой сливовицы. Возник вопрос, поровну ли поделен крепкий напиток.
— Предположим, что все трое из нас — законченные эгоцентристы. Можем ли мы разделить сливовицу так, чтобы каждый из нас был удовлетворен, если ему достанется не меньше сливовицы, чем любому другому? — спросил Гамов. — Мы хорошо знаем, как решается эта задача в случае, когда спорят двое завистливых детей. Один из спорщиков делит предмет спора на две части, которые он считает равноценными, а другой получает право выбрать любую из двух частей по своему усмотрению. Как следовало бы обобщить эту задачу о справедливом разделе на случай трех участников спора?
Фон Карман, улыбнувшись, обратился к Стерну:
— Позвольте мне слегка переформулировать задачу, после чего вы, я в этом просто уверен, не сможете не решить ее. Рассмотрим задачу, которая ставится так: каждый из нас должен быть удовлетворен, если ему достанется по крайней мере причитающаяся ему доля сливовицы (т. е. по крайней мере 1/3 содержимого бутылки). Теперь для вас не составит труда решить задачу.
— Действительно, кажется, я понял, как решить задачу, — сказал Стерн. — Фон Карман делит сливовицу на три порции, которые он считает равными, и поэтому будет удовлетворен, получив любую из них.
Если Гамов считает, что в рюмке А сливовицы больше, чем в В или С, а я считаю, что больше всего сливовицы налито в рюмку В, то никаких осложнений не возникает. Гамов берет себе рюмку А, я — рюмку В, а фон Карман получает рюмку С. Затруднение может возникнуть только в том случае, если и Гамов, и я сочтем, что больше всего сливовицы оказалось налитой в рюмку А. Но и в этом случае, если мы оба согласимся, что в рюмке В сливовицы больше, чем в рюмке С, то задача существенно упрощается. Гамову и мне необходимо разделить содержимое рюмок В и С так, как это делают двое детей в задаче о честном разделе, а фон Карману достанется рюмка С.
15
Единица объема. В США, где происходит действие этой задачи, 1 галлон для жидкости (топлива) равен 3,78543 дм3. — Прим. перев.
16
Читатель, должно быть, уже заметил, что в квадратных скобках стоит тот же бесконечный ряд, с которым мы уже сталкивались в задаче о наклонном столбике из домино (стр. 70).