Как же строил Эвклид несокрушимое здание своей геометрии? В основание всей науки он вводит несколько главных положений-истин, по тем или иным причинам не требующих доказательств. Остроумные греческие философы, закаленные в спорах и наделенные скептическим умом, выбирали их очень осторожно. Они разделили подобные истины на аксиомы и постулаты. Аксиомами в те далекие времена называли утверждения, которые нельзя отрицать, не нарушая всех основ логического мышления. Говоря об аксиоме, греки начинали фразу со слов: «Очевидно, что…» И тем отбрасывали всякую возможность спора на этот счет.
Постулаты, в древнегреческом понимании, представляли собой конкретные утверждения, свойственные той или иной науке. Первая фраза постулата должна была начинаться словами «допустим, что…». Это также снимало возможность спора, но не налагало на выдвинутое положение критерия безусловности.
Такое очень важное и тонкое различие между аксиомой и постулатом со временем сгладилось и принесло неисчислимые беды и чистым философам, и представителям натуральной философии, но о том речь дальше.
Изложение геометрии в книгах Эвклида построено в виде системы определений, аксиом и постулатов, из которых логическим путем выводятся теоремы. В первых четырех книгах Эвклид рассматривает геометрию на плоскости. При этом в книге первой он формулирует пять основных требований, или допущений, на которых строит остальные выводы. Постулаты Эвклида настолько наглядны, настолько очевидны, что так и хочется назвать их аксиомами. Но мы уже предупреждены. И мы начеку. Да и сами постулаты при всей своей определенности точно взывают к бдительности. Смотрите сами. Эвклид пишет: «Нужно потребовать (помните, это эквивалентно словам „допустим, что…“):
1. Чтобы из каждой точки к каждой точке можно было провести прямую линию (и притом только одну).
2. И чтобы ограниченную прямую можно было непрерывно продолжить по прямой.
3. И чтобы из любого центра любым радиусом можно было описать окружность.
4. И чтобы все прямые углы были друг другу равны.
5. И чтобы всякий раз, как прямая, пересекая две прямые, образует с ними внутренние односторонние углы, составляющие вместе меньше двух прямых, эти прямые при неограниченном продолжении пересекались с той стороной, с которой эти углы составляют меньше двух прямых».
Даже не умудренный математикой читатель сразу заметит, что пятый постулат резко отличается от четырех первых. Он гораздо сложнее и больше похож на теорему, которую нужно доказывать. В пятом постулате нет и следа наглядности первых четырех, ведь здесь говорится о «неограниченном продолжении» прямых. А попробуйте-ка займитесь этим «неограниченным продолжением». Кто возьмет на себя смелость сказать, что и в бесконечности параллельные прямые не сойдутся?.. То есть интуитивно, конечно, пятый постулат кажется бесспорным. Но интуиция диктуется опытом. Опыт же перед бесконечностью пас. Эвклид и сам скорее всего понимал, что с пятым постулатом не все обстоит чисто. Потому он и распределил изложение материала в своих книгах на две неравные части.
В первой сгруппированы теоремы, которые доказываются с помощью четырех начальных постулатов. Эта часть называется Абсолютной Геометрией. Во второй собраны теоремы, которые могут быть доказаны только при использовании пятого постулата. И эта вторая часть носит название собственно эвклидовой геометрии. Скорее всего некогда пятый постулат был теоремой. Однако ни одна из попыток доказать ее не увенчалась успехом. И тогда Эвклид включил упрямую теорему в число постулатов.
Математики так легко не примирились с решением Эвклида. «В области математики найдется мало вещей, — писал Карл Фридрих Гаусс, — о которых было бы написано так много, как о пробеле в начале геометрии при обосновании теории параллельных линий. Редко проходит год, в течение которого не появилась бы попытка восполнить этот пробел. И все же если мы хотим говорить честно и открыто, то нужно сказать, что, по существу, за 2000 лет мы не ушли в этом вопросе дальше, чем Эвклид».