На обратном пути его движение уже не столь прямолинейно. Пошатываясь, он двигается под разными углами к направлению движения поезда. Теперь его скорость относительно тех же полустанков равна разности скоростей. Но не просто от скорости поезда в 120 км/час нужно отнять 2 км/час, которые он преодолевает, добираясь до своего купе. Нет, полная скорость определится как векторная разность. А сложение и вычитание векторов производится по правилу параллелограмма.
Мы вспоминаем о Пифагоре и приходим к мысли, что законы сложения скоростей подчиняются правилам эвклидовой геометрии. Или, как принято говорить среди специалистов, геометрия пространства скоростей — эвклидова. Впрочем, такое заявление — спекуляция чистой воды. Решить, какой геометрией является геометрия пространства скоростей, должен опыт. И вот опыт-то и обнаружил в пространстве скоростей первое противоречие со свойствами эвклидовой геометрии. Случилось это так.
В 1877 году американские физики Майкельсон и Морли поставили эксперимент, который обещал просветить физику в отношении противоречивых свойств мирового эфира. Автору пока не хотелось бы вдаваться в подробности опыта и задач, которые ставили перед собой экспериментаторы. Это увело бы повествование слишком далеко в сторону. Сейчас нам важно то, что в опыте сравнивалась скорость света Солнца в двух направлениях: с востока на запад — вдоль и с севера на юг — поперек движения Земли по орбите.
Сумма двух векторов, совпадающих по направлению, всегда больше суммы тех же векторов, направленных под углом друг к другу. И потому Майкельсон и Морли ожидали, что скорость света в сумме со скоростью движения Земли по разным направлениям даст разные величины. Каково же было их изумление, когда оказалось, что, с чем бы ни складывалась скорость света, она всегда остается одной и той же.
Значит, законы Эвклида для сложения скоростей не годятся! Значит, геометрия пространства скоростей неэвклидова. Забегая еще вперед, скажем, что в 1908 году немецкий математик Клейн обнаружил, что геометрия скоростей в точности совпадает с геометрией Лобачевского. «Из всех неэвклидовых геометрий, — пишет Я. А. Смородинский, — геометрия Лобачевского оказалась самой реальной, в то время как „реальная“ эвклидова оказалась лишь приближенной моделью».
Но продолжим историю конструирования новых миров, начатую нашим великим соотечественником.
Осенью 1853 года на математический факультет Геттингенского университета никому не известный доктор наук Риман подал конкурсную работу на соискание должности приват-доцента. По существующим правилам, кандидат должен был предложить еще три темы для пробной лекции. Глава факультета утверждал одну из них, и после прочтения лекции кандидатом совет окончательно решал вопрос о пригодности соискателя к преподавательской работе.
В Геттингене математический факультет возглавлял Гаусс. Он знал Римана еще по докторской диссертации. И существует мнение, что побаивался гения молодого человека, видя в нем равного себе… Риман представил на рассмотрение три темы. Две из них не вызывали ни у кого ни малейшего сомнения. Третья же, посвященная основам геометрии, была абсолютно «темной лошадкой». Впрочем, Риман и не собирался выбирать ее в качестве темы пробной лекции. Обычно руководитель факультета утверждал самую первую тему из представленного списка, и на этом дело заканчивалось. Гаусс избрал третью.
Известный немецкий математик Вебер пишет: «Гаусс не без умысла выбрал именно данную тему из трех предложенных Риманом. Он сам признавался, что ему страстно хотелось услышать, как такой молодой человек сумеет найти выход из столь трудной игры».
Риману понадобилось почти полгода для окончания работы над вопросами, лишь намеченными названием темы. И вот наконец «Геттингенский Колосс» назначает заседание коллегии…
Лекция Римана называлась «О гипотезах, лежащих в основании геометрии». Докладчик рассматривал геометрию в наиболее обобщенном виде, как учение о непрерывных многообразиях не только привычных нам трех измерений, но и любых других n измерений. Если в таких многообразиях определено или задано расстояние между бесконечно близкими их элементами, то есть известна метрика, то Риман называл такие многообразия пространствами, характеризуя их свойства кривизной.