Аналогичным образом была проведена и формализация арифметики. Поскольку и здесь речь шла о том, чтобы создать наиболее строгую и стройную дедуктивную систему, эта цель, казалось, могла быть достигнута при максимальном исключении всякого внелогического интуитивного содержания из понятий и предложений арифметики и выявлении, таким образом их внутренней логической структуры. Грандиозная попытка полного сведения чистой математики к логике была предпринята в Principia Mathematica Уайтхеда и Рассела и, в известном смысле, была естественным логическим завершением всего этого движения. Таким образом, математика была, по существу, сведена к логике. Еще Фреге положил начало так называемому логицизму, заявив, что математика это ветвь логики. Эта же точка зрения была принята и Расселом.
Попытка сведения математики к логике с самого начала подверглась критике со стороны многих математиков, придерживавшихся, вообще говоря, весьма различных взглядов. Защитники логицизма утверждали, что «все математические рассуждения совершаются в силу одних лишь правил логики, точно так же, как все шахматные партии… происходят на основании правил игры».
Противники его доказывали, что вести плодотворное рассуждение в математике можно, «только введя предпосылки, не сводимые к логике». Решающее значение для исхода этой довольно продолжительной полемики имела знаменитая теорема Гёделя. В 1931 г. Гёдель доказал, что в каждой достаточно богатой средствами выражения формализованной системе имеются содержательные истинные утверждения, которые не могут быть доказаны средствами этой системы; это значит, что полная формализация, например, арифметики принципиально неосуществима, что «понятия и принципы всей математики не могут быть полностью выражены никакой формальной системой, как бы мощна она ни была» (19, 36).
Все эти проблемы интересуют нас не сами по себе, а с точки зрения того влияния, которое они оказали на становление логического позитивизма. Опыт построения формализованных систем породил надежды на то, что вообще все научное знание можно выразить аналогичным образом. Это было, в общем-то, понятное увлечение успехами формализации. Казалось, что весь вопрос в том, чтобы подобрать соответствующий язык — знаковую символику, включающую как необходимые термины, так и правила оперирования ими, в частности, правила выведения.
Как говорит Эрмсон в своей книге «Философский анализ». Рассел считал, что «логика, из которой может быть выведена математика во всей ее сложности, должна быть адекватным остовом языка, способного выразить все, что вообще может быть точно сказано» (78, 7).
Большую роль сыграли здесь теория типов и теория дескрипции, созданные Б.Расселом.
Поводом для создания теории типов явились парадоксы, обнаруженные Расселом при изучении работ Фреге и Кантора. Эти парадоксы заставили вспомнить о старых парадоксах, известных еще древним. Парадокс «лжец» состоит в следующем: Эпименид-критянин говорит, что все критяне лгут. Но так как он сам критянин, то, следовательно, и он лжет. Значит, критяне говорят правду. Второй вариант парадокса: «Все, что я говорю — ложь, но я говорю, что я лгу, значит, я говорю правду, а если я говорю правду, то значит, я лгу».
Аналогичен и «парадокс крокодила»: крокодил утащил у женщины ребенка, женщина стала плакать и молить крокодила вернуть ребенка. Крокодил сказал: «Если ты угадаешь, что я сделаю, я верну ребенка. Если не угадаешь, то не верну». Женщина сказала: «Ты не вернешь мне ребенка». Теперь крокодил задумался: «Если он вернет ребенка, значит, женщина не угадала, и он не должен его возвращать. Но если он не вернет, то значит, женщина угадала, и по уговору он должен его вернуть. Как же тут быть?». Говорят, что крокодил думал, думал, думал, пока не сдох. Крокодила не стало, а парадокс остался.
Обратимся теперь к собственно парадоксу Рассела. Предположим, что имеются классы различных вещей. Иногда класс может быть членом самого себя, иногда — нет. Класс чайных ложек не есть чайная ложка. Но класс вещей, которые не являются чайными ложками, сам есть вещь, не являющаяся чайной ложкой. Следовательно, он член самого себя.
Теперь возьмем класс всех классов, которые не являются членами самих себя. Является ли он членом самого себя? Если да, то он должен обладать отличительным признаком своего класса, то есть не быть членом самого себя. Если же он не член самого себя, то он должен быть таким членом, так как должен войти в класс всех классов, не являющихся членами самих себя. Для наглядности этот парадокс можно сравнить с «парадоксом парикмахера»: Единственный парикмахер в городе получил приказ брить всех тех, кто не бреется сам (такой приказ мог, например, издать царь Петр). И вот парикмахер ходит по дворам и бреет всех бородатых. Но в конце концов он сам обрастает бородой, должен ли он теперь сам бриться? Если он не будет бриться, то он должен себя брить. Но если он бреется сам, то он не должен этого делать.
Парадокс Рассела вызвал необходимость в тщательном анализе того, как мы пользуемся языком, не совершаем ли мы каких-либо ошибок, имеем ли мы право задавать подобного рода вопросы, имеют ли они смысл.
Рассел попытался найти решение парадокса, создав теорию типов. Она устанавливала определенные правила и ограничения пользования терминами.
Рассел так разъясняет суть этой теории на примере парадокса «лжец». «Лжец говорит: „Все, что я утверждаю, ложно“. Фактически это утверждение, которое он делает, но оно относится ко всей совокупности его утверждений, и парадокс возникает потому, что данное утверждение включается в эту совокупность» (57, 82). Если бы это утверждение стояло особняком, то парадокса не было бы. Мы знали бы, что в случае его истинности все, что лжец утверждает, ложно. Но когда мы включаем само это утверждение в ту совокупность утверждений, к которой оно относится, о которой оно говорит, или которую характеризует, тогда только и возникает парадокс. Этого, полагает Рассел, делать нельзя.
Он говорит: «Мы должны различать предложения, которые относятся к некоторой совокупности предложений, и предложения, которые к ней не относятся. Те, которые относятся к некоторой совокупности предложений, никогда не могут быть членами этой совокупности» (57, 22).
Основная идея Рассела состоит в том, что в правильном языке предложение не может ничего говорить о самом себе, вернее, о своей истинности. Однако, наш обычный язык такую возможность допускает, и в этом его недостаток. Поэтому необходимы ограничения в правилах пользования языком. Такие ограничения вводит теория типов.
Рассел делит предложения на порядки: предложения первого порядка никогда не относятся к совокупностям предложений, они относятся к внеязыковым явлениям.
Например:
роза есть красная — P1
капуста есть зеленая — Р2
лед есть горячий — Р3
Предложения второго порядка относятся к предложениям первого порядка.
Например:
предложения P1 и Р2 истинны — а
предложение Р3 ложно — б
Предложения третьего порядка относятся к предложениям второго порядка.
Например:
предложения а и б написаны на русском языке.
Таким образом, Рассел устанавливает, что и о чем мы можем говорить, а чего не можем. Это значит, что некоторых вещей говорить нельзя.
Отсюда вытекает очень важное следствие: оказывается, что наряду с предложениями, которые могут быть истинными или ложными, есть и такие предложения, которые не могут быть ни истинными, ни ложными. Такие предложения являются бессмысленными.
Однако этот вывод вовсе не кажется абсолютно бесспорным. Например: предложение «четные числа питательны», с точки зрения Рассела, бессмысленно. Однако, вполне можно сказать, что оно ложно.