Один из вариантов расстановки на шахматной доске восьми ферзей, при котором эти фигуры не могут угрожать друг другу. Остальные комбинации получают путем зеркального отражения
Ради любопытства спросим, а на сколько частей можно разделить квадрат так, чтобы возникли маленькие, но одинаковые квадратики? Очевидно, что квадрат делится как минимум на 4 меньших квадрата. На 2 или на 3 квадрата разделить его невозможно. При следующем делении каждый из четырех малых квадратов разделится на 4 еще меньших, то есть всего станет 16 квадратов. Ход деления мы узнали. Результат всякий раз получим умножением на 4. Соответственно при следующем делении 16 квадратов мы получим 64, то есть шахматную доску. Существуют только две плоские фигуры, которые можно разделить на две равные части, причем эти части будут точным уменьшенным воспроизведением больших фигур. Так как мы привыкли делить пополам все, что встречается вокруг, приходится только удивляться тому, что лишь в двух случаях мы можем соблюсти сформулированное выше условие. Это такие фигуры: прямоугольный раЬнобедренный треугольник и параллелограмм с соотношением сторон 1: √ 2.
Такой параллелограмм в одном частном случае - в форме прямоугольника - играет существенную роль в искусстве и технике. Прямоугольник, длинная сторона которого больше его короткой стороны в √ 2 раз (то есть в 1,4142 раза), воспринимается нами как соразмерный. Именно такой или близкий к нему формат картин предпочитают художники.
Только равнобедренный треугольник и параллелограмм с соотношением сторон 1:√ 2 можно разделить пополам, так что полученные фигуры будут подобны первоначальным
В фотографии широко распространены форматы 7Х10 (прежде был 6x9) и 13Х18. Если рассчитать соотношение сторон, получается 10:7 ≈ 1,43, а 18:13 ≈ 1,38, то есть числа, близкие к √ 2 = 1,4142.
Более точно придерживаются отношения 1 : √ 2 в технике. На нем основан формат бумаги. Так, при формате АО (841 х 1189 мм) отношение сторон составляет 1,413 ≈ √ 2. Если перегнуть лист пополам, по большей стороне, получится формат А1 (841Х1189/2, то есть 841X594 мм), где 841:594 = 1,415. Дальше снова складывается пополам большая сторона. Получается формат A3. При следующем складывании мы получим известный формат А4, в котором 291:210 = 1,414. Такое деление идет дальше до формата А8 (74:52).
Параллелограммы с соотношением сторон 1 :√ 2, 1 :√ 3 и т. д. можно разделить на две, три и соответственно более частей, так что у новых полученных подобных фигур соотношение сторон сохранится первоначальным
Тот, кто имеет дело с бумагой, знает, что существуют еще два других ряда - для суперобложек и прочих целей. Ряд В начинается с 1414:1000 = 1,414 и ряд С - с 1297:917 = 1,414...
Книга, которую вы читаете (и, хотелось бы надеяться, не без интереса), имеет формат 260Х200 мм, а 260:200 = 1,3.
Конечно, вы обратили внимание, что формат бумаги здесь обозначен не совсем так, как принято: не через произведение сторон, а через их отношение, но мы позволили себе это для большей наглядности.
Мы могли бы сказать, что расчет формата бумаги, отвечающего стандарту, производится путем повторного деления листа с соотношением сторон 1:√ 2, начиная с формата 917Х1297 мм. Но правильнее будет другое определение: стандартный расчет бумаги производится путем пропорционального увеличения листа с соотношением сторон 1:√ 2, последовательно начиная с формата 52Х74 мм. В обоих случаях следовало бы сделать оговорку, что при делении (или умножении) всякий раз берется сторона с относительной длиной √ 2.
В старину подобные трапеции выкладывались по углам наборных полов; каждая составная часть в них подобна целой фигуре
Вспомним, что прямоугольник является лишь частным случаем параллелограмма и что параллелограмм с соотношением сторон 1:√ 2, равно как и прямоугольный равнобедренный треугольник, можно разделить на две уменьшенные копии.
Параллелограмм, одна из сторон которого равняется √ 3, можно разделить на 3 уменьшенные подобные части. В общей форме: параллелограмм с соотношением сторон 1:√ n можно разделить на n одинаковых подобных частей.
Существует еще множество фигур, имеющих самые различные варианты разделения. Мы же рассмотрим еще один мотив, который иногда выкладывали на старинных кафельных полах по углам. Это трапеции, которые зеркальное отражение превращает в цельный мотив узора. Здесь снова возникает «отражение». Значит, в таких узорах допустимы комбинации плоских фигур, которые нельзя путем поворота или вращения совместить друг с другом, то есть «левые» и «правые».