Выбрать главу

181 373 12721,

191 383 12821.

Однако в математике морднилап, кажется, еще менее необходим, чем в языке. В то же время математика не раз вдохновляла иные поэтически настроенные души на литературные излияния. Так, один английский статистик (!) по фамилии Юден создал около века назад хвалебный гимн кривой Гаусса. Он писал (в форме такого рода кривой): «Закон нормального распределения ошибок выступает в опыте человечества как одно из самых широких обобщений натуральной философии. Он служит ведущим инструментом исследования как в физике и социальных науках, так и в медицине, сельском хозяйстве или технике. Он является незаменимым орудием для анализа и обработки данных, полученных из наблюдения и эксперимента».

Математик Карл Фридрих Гаусс, о котором мы уже упоминали, когда говорили об измерении больших треугольников, разработал форму кривой, столь воодушевившую Юдена. Если выполнить большое число измерений какого-либо отрезка - длиной, скажем, в 1 м, - то лишь очень немногие из измерений окажутся равными в точности 1,00 м. Многие измерения дадут значения 0,981 или 1,01 м. Если теперь нанести на диаграмму частоту появления каждого значения измеренной величины, то в идеальном случае получится кривая Гаусса. Подобные кривые можно получить, скажем, при измерении бобов или горошин.

В старину симметрию в формировании книг соблюдали даже в ущерб правописанию

Пока кривая нормального распределения выглядит симметрично, речь идет о случайных отклонениях. Но всякое значительное отступление от симметрии свидетельствует о необходимости установить его причину. В простейшем случае неточным может оказаться измерительный инструмент. Хуже, когда не внушает доверия лаборант, производящий измерения. Однако причина может также заключаться в том, что в число горошин попали (случайно или намеренно) представители иного сорта, которые подчиняются распределению с другими параметрами.

Подобные сведения - и не только подобные - может почерпнуть статистик из нормального распределения. Всем нам есть чему поучиться у Гаусса. Как известно, при планировании и подведении итогов мы часто оперируем средними значениями. Средний годовой доход граждан составляет столько-то. Средний размер обуви мужской части населения такой-то. Среднее потребление пива такое-то и т. д. Однако такое среднее значение еще далеко не отражает истинного положения. Людям с особенно маленькими или особенно большими ногами известна даже песенка на эту тему. А что касается пива, то грудные младенцы, хотя и являются гражданами страны, его не потребляют. Получается, что отцы должны пить за двоих, троих, а то и четверых, чтобы поддержать средний уровень на душу населения. Поэтому Юден с полным правом написал, что нормальное распределение «является незаменимым орудием для анализа и обработки данных». К непроанализированным средним значениям следует питать глубокое недоверие.

Давайте прикинем, какими средствами в среднем располагают американские миллионер и нищий. Ну, в простейшем случае миллионер обладает как минимум 1 млн. долларов, а нищий - О долларов. Легко вычислить среднее значение:

В старину симметрию в оформлении книг соблюдали даже в ущерб правописанию.

1 000 000 + 0/2 = 500000 долл.

Следовательно, средний американец должен был бы иметь 500 тыс. долларов. В чем тут ошибка?

Расчеты средних величин годятся лишь для больших чисел! Значит, 1000 миллионеров и 1000 нищих? Но и в этом случае вычисление не даст правильного результата:

1 000 000 - 1000 + 0 • 1000/2000 = 500000 долл.

Действительная ошибка заключается в том, что нищие и миллионеры располагаются на противоположных концах кривой распределения имущественного состояния народа. Между ними находятся 150 млн. человек, владеющих 10, 100 или 1000 долларами. И средняя величина или среднее значение лишь в том случае приобретает смысл, когда кривая нормального распределения учитывает все имущественные состояния. Не подлежит сомнению, что наблюдения над распределением состояний всех граждан США покажут, что такое распределение не является нормальным. Тут-то именно следует приняться за математический, экономический и политический анализ.

ЛОГИЧЕСКИЕ ОШИБКИ С СИММЕТРИЙНОЙ ПОДОПЛЕКОЙ

< border="1"> Три одинаковых куска картона Стороны А В С Верхняя сторона красный красный белый Нижняя сторона красный белый белый

Решая математические задачи, имеющие (действительное или кажущееся) «симметрическое решение», мы быстро приходим к ответу. Примером такого рода задач может служить равномерное распределение разности между двумя величинами (то есть к каждой величине требуется прибавить половину этой разности).