(4) A = АВ' — выражает отрицательное суждение «Ни одно A не есть В». Например, «Элемент = то, что не может быть разложено». Здесь В' — класс, дополняющий B до «класса всех вещей» - универсального класса V.
(5) A = АВ ∪ АС — формула так называемого разделительного (дизъюнктивного) суждения «A суть B или C» («Красный металл есть медь или золото»).
(6) РА = РАВ — формула частного суждения «Некоторые A являются В» («Некоторые металлы имеют меньшую плотность, чем вода»). Здесь β — знак «неопределенного количества»; РА означает какую-то (неопределенную, но фиксированную) часть класса A.
В процессе дедукции в теории Джевонса используются законы тождества, противоречия и исключенного третьего. Закон тождества, в наиболее общей формулировке утверждающий требование неизменности понятий и суждений в процессе рассуждения, передается формулой A = A, где A —любое множество. Закон противоречия, запрещающий признание истинным высказывания и его отрицания, записывается, по Джевонсу, как AA' = Λ (результат пересечения произвольного класса A со своим дополнением есть пустой класс; здесь Λ — знак пустого множества, то есть множества, не содержащего ни одного элемента). Закон исключенного третьего, утверждающий, что если дано высказывание и его отрицание, то по крайней мере оно из них верно (верность того и другого запрещается законом противоречия), Джевонс записывает в виде разделительного суждения A = АВ ∪ АВ'. Эту запись можно иллюстрировать суждением «Вода бывает соленая или пресная (то есть несоленая)» («Вода = соленая вода или пресная вода»). Очевидно, это суждение истинно.
Приведем примеры логических выводов в исчислении Джевонса:
1. Дана посылка A = АВ (например, «Все металлы — элементы», то есть «Все металлы = металлы, являющиеся элементами»); покажем, что из нее выводится суждение AС = ABC («Все жидкие металлы — жидкие элементы»). Возьмем суждение АС = AC, верное по закону тождества.
Поскольку в посылке об A утверждается, что этот класс равен AB, мы можем, пользуясь «принципом замещения», заменить в данном суждении второе вхождение A на AB. и результате получится требуемое заключение.
2. Из B = ВС' и A = АВ следует A = ABC', а отсюда (по действующему в системе Джевонса правилу, позволяющему зачеркнуть в последней формуле букву В) получается A = AС'. Это — модус аристотелевского силлогизма Celarent: «Ни одно B не есть С, все A суть B; значит, ни одно A не есть С».
3. Из посылки «Все A суть B» следует заключение «Ни одно не-B не есть A». В самом деле, из A=AB, присоединяя суждение B' = B'A ∪ B'A'; (по закону исключенного третьего), получает B' = B'AB ∪ B'A'; использование комутативности операции пересечения дает B' = ABB' ∪ A'B'. Поскольку BB' = Λ ( по закону противоречия) и AΛ = Λ (пересечение любого множества с пустым множеством пусто), оказывается, что ABB' = Λ, откуда (в силу того, что Λ ∪ A'B' = A'B') вытекает формула B' = A'B', выражающая рассматриваемое заключение.
Очерченное логическое исчисление и было положено Джевонсом в основу работы его машины. Последняя представляла собой механическое устройство с клавиатурой {и поэтому получила название «логического пианино»). Ее работа основывалась на той идее, что всякое высказывание-посылку можно рассматривать как исключение альтернативных-вариантов; получение заключения из системы посылок состоит в отборе незабракованных альтернатив и в их компактном представлении, удобном для понимания.
Пусть даны три класса A, В и С. Мы можем ввести в рассмотрение класс A, а можем рассматривать дополнение к нему, то есть класс А'; в первом случае мы можем ввести в рассмотрение класс В и взять его пересечение с A, а можем взягь класс В' и т. д. Делая тоже самое для С, мы получим альтернатива (они носят название конституэнт): AВС, AВС', AВ'С, AВ'С',A'ВС, A'ВС', A'В'С, A'В'С'. Если соединить, все конституэнты знаком ∪ то мы получим формулу, выражающую универсальный класс: AВС ∪ ABC' ∪ AB'C ∪ AB'C' ∪ A'BC ∪ A'BC' ∪ A'B'C ∪ A'B'C' = V[16]. теперь пусть нам даны посылки из приведенного выше примера 2 (модус Celarent): В = ВС' и A = AВ. Их можно записать в другом виде: ВС = Λ (поскольку, если ни одно В не есть С, то пересечение классов В и С пусто) и AB' = Λ (так как если все A суть В, то пересечение A с дополнением к В не может быть не пустым).
Это означает, что альтернативы AВС и A'ВС обращаются в пустой класс в силу первой посылки (поскольку пересечение любого класса с пустым классом дает пустой класс), а альтернативы АВ'С и AВ'С'— в силу второй посылки. Таким образом, мы получаем: (*) AВС' ∪ A'ВС' ∪ A'В'С ∪ A'В'С' = V. Теперь очевидно, что AС должно быть пустым классом (что и будет означать A = AС', то есть «Ни одно A не есть С») — ведь конституэнты AВС и А В'С, объединение которых совпадает с AС, отсутствуют в выражении (*) (поскольку, как мы видели, они «бракуются» нашими посылками).
Набор на клавиатуре машины Джевонса посылок этого умозаключения (клавиатура содержит клавиши для четырех переменных и их отрицаний) приводит к тому, что на ее выходном табло получается заключение. Но на этой машине можно решать и задачи другого рода: представлять логическое выражение в виде набора конституэнт; проверять равносильность выражений; упрощать логические формулы; устанавливать, какие утверждения о данном классе можно выразить в терминах некоторых других классов; определять гипотезы, из которых следует данное выражение; проверять правильность силлогизмов и т. д.
Машина Джевонса не освобождала, однако, логический вывод от участия «человеческой» логики: результат, который выдавала машина, нуждался в переформулировке. Кроме того, машина была логически маломощна, и хотя используя одновременно две машины, можно было решать более сложные задачи, тем не менее возможности придуманных Джевонсом процедур были весьма ограниченными. Главное ограничение состояло в том, что небогатой была сама логическая теория, лежавшая в их основе. Дальнейшее развитие автоматизации логических процедур, как мы увидим, оказалось существенно связанным с развитием самой логики.
3. ОБРЕТЕНИЕ ПИСЬМЕННОСТИ
Математизация логики ведет свое начало от работ Дж. Буля и А. Де Моргана, в которых логика обрела свой алфавит, свою орфографию и свою грамматику. С этого момента она перестала зависеть от породившего ее естественного языка и получила собственные, адекватные своим особенностям, средства выражения. Для логики началась эпоха письменности — ее конструкции стало возможным наносить на бумагу в виде компактных сочетаний символов, в виде формул, и открылась возможность перерабатывать эти сочетания символов по четко определенным правилам.
Как и изобретение письменности для естественного языка, это знаменовало революцию в развитии. Фактически была осуществлена первая часть мечты Лейбница, и хотя до реализации его главной цели — создания «автоматического рассуждения» — оставался еще огромный путь, одна из главных предпосылок достижения этой цели (в той мере, в которой она вообще достижима) была налицо.
Имя Джорджа Буля (1815—1864) в последнее время стало известно даже людям, далеким от математики и логики. Понятие «булевой алгебры» уже знакомо многим нематематикам и нелогикам, а понятие «булевской переменной» вошло в обиход программистов, операторов и всех, кто пользуется ЭВМ. В этом состоит залог бессмертия имени Буля, поскольку кибернетика будет входить в нашу жизнь все шире (точно так же, когда единицу тока назвали ампером, имени великого французского физика навсегда суждено было войти в языки всех народов — вскоре наступил век электричества). Однако при жизни — да и долго после смерти — профессор математики из ирландского города Корка Джордж Буль, автор основополагающих для математической логики трудов «Математический анализ логики» (1847) и «Исследование законов мысли» (1854)[1] не считался человеком, внесшим большой вклад в науку, и его имя было известно лишь узким специалистам.
Такое непризнание заслуг Буля объясняется очень просто: тема, которой он занимался, стояла в стороне от главной линии развития тогдашней математики.
32
16. Действительно, по закону исключенного третьего:
A = AB ∪ AB' = ABC ∪ ABC' ∪ AB'C ∪ AB'C', A' = A'B ∪ A'B' = А'ВС ∪ А'ВС' ∪ AВ'С ∪ А'В'С' но, как очевидно, A ∪ A' = V.
33
1. G. Вооlе. The Mathematical Analysis of Logic. Cambridge and London, 1847; G. Вооlе. An Investigation of the Laws of Thought. London, 1854.