Схемы аксиом 1 и 2 задают свойство перестановочности членов в конъюнктивных и дизъюнктивных формулах. Схемы аксиом 3 и 4 выражают ассоциативные законы, подобные ассоциативным законам школьной алгебры, где, как известно, (а • b) • с = а - (b • с) и (а + b) + с = a + (b + с). В школьной алгебре имеется только один дистрибутивный закон — закон дистрибутивности умножения относительно сложения: A • (b + с) = a • b + A • с, так как обычное сложение чисел не дистрибутивно относительно обычного умножения (то есть неверно, что для любых чисел а, b и с
а + (b • с) = (а + b) • (а + с)).
В данной же системе обе операции, конъюнкция и дизъюнкция, дистрибутивны одна относительно другой (схемы аксиом 5 и 6). Смысл законов Де Моргана[7] (схемы аксиом 9 и 10) можно передать фразами: «Отрицание конъюнктивной формулы означает дизъюнкцию отрицаний ее членов»; «Отрицание дизъюнктивной формулы означает конъюнкцию отрицаний ее членов». Смысл схем аксиом, выражающих остальные законы, непосредственно ясен. Заметим лишь, что они служат эффективным средством упрощения формул рассматриваемой формальной системы, то есть построения по данной формуле таких равных ей формул, которые проще, чем исходная (в том смысле, что содержат меньшее число вхождений логических связок); ср. ниже, с. 75—76.
[b]. Правила вывода.
Если верно равенство α = β, то верно и равенство Ф[α] = Ф[β]. Здесь Ф[α] есть произвольная формула, содержащая в качестве своей части, формулу α (аналогично понимается и Ф[β]). Это — правило замены равным (ср. выше с. 42), но «приуроченное» специально к нашему формальному аппарату. Смысл правила состоит в том, что в произвольной формуле Ф[α], в которую входит α, можно α в любом ее вхождении заменить на какую угодно равную ей формулу β и в результате получится формула Ф[β], равная формуле Ф[α][8].
В дополнение к этому правилу мы будем в процессе переработки равенств пользоваться известными свойствами отношения равенства — рефлексивностью (для любой формулы α справедливо α = α), симметричностью (для любых α и β из α = β следует β = α) и транзитивностью (если α = β и β = γ, то α = γ)[9]. Таким образом, процедуры вывода в данном исчислении представляют собой обычные тождественные преобразования.
V. Определения.
Записи вида (α ≡ β) и (α → β) суть сокращения для формул вида (~α V β)[10] и ((~α V β) & (α V ~β)).
Приведенное исчисление представляет собой исчисление равенств формул определенного вида — исчисление, которое в алгебраических терминах носит название исчисления равенств булевых выражений[11]. Оно сформулировано нами как неинтерпретированное исчисление, поскольку при его развертывании не было указано, из какой же области следует брать значения пропозициональных переменных, как следует понимать логические связки и константы 0 и 1, какой смысл имеют формулы и как нужно понимать содержание термина «верная формула».
Дадим теперь первую интерпретацию этого исчисления — функциональную.
Пропозициональные переменные истолковываются как переменные для чисел 0 и 1 (то есть каждая из переменных может принимать только эти два значения). Сложные формулы (формулы, отличные от пропозициональных переменных) интерпретируются следующим образом. Каждая связка понимается как функция, которая значениям аргументов (аргумента) — нулю или единице — ставит в соответствие значение функции (которое тоже может быть только либо нулем, либо единицей). Значения связок строятся на основе табличных определений (табл. 1, 2, 3)[12].
Значения знаков → и ≡ вытекают из этих таблиц. В силу того, что (α → β) есть сокращение для (~α V β), (α ≡ β)—сокращение для ((~α V β) & (α V ~β)); можно считать, что знаки → и ≡ задаются таблицами 4 и 5 соответственно.
Поясним, как строится, например, табл. 5. Мы начинаем с того, что строим колонку для формулы ~а, пользуясь табл. 1, задающей операцию (функцию) отрицания; затем, пользуясь табл. 3, определяющей функцию, называемую дизъюнкцией, строим колонку для формулы (~α V β) аналогичным образом строится колонка для формулы (α V ~β) наконец, опираясь на табл. 2, задающую функцию, называемую конъюнкцией, мы строим колонку для конъюнкции ((~α V β) & (α V ~β)) Задание функции ≡ получено: его дают две первые левые (аргументные) колонки табл. 5 и ее крайняя правая колонка.
Задав описанным способом интерпретацию пропозициональных переменных и связок, мы тем самым получаем интерпертацию и для любой формулы[13]: каждая формула осмысливается как функция (таблица), которая может быть построена по данной формуле.
Возьмем, например, формулу (A1 & (A2 V ~A1)) и определим, какую функцию она задает, построив соответствующую таблицу (табл. 6).
Построим таблицу для формулы (А1& ~(А2 V A1))» проверку правильности которой мы выше предоставили читателю. Мы получим табл. 7.
Из нее видно, что эта формула принимает значение 0 при любых значениях своих аргументов. Она называется поэтому тождественно равной нулю. Если мы возьмем отрицание только что рассмотренной формулы, то есть формулу ~(А1 & ~(А2 V A1)), то очевидно, что она задает функцию, которая принимает значение 1 при любых значениях своих аргументов, то есть функцию, тождественно равную единице.
Функции, тождественно равные нулю, неотличимы друг от друга: ведь какие бы значения ни принимали аргументы (и сколько бы их ни было), функции эти все равно принимают одно и то же значение, то есть ведут себя как константы—постоянные. То же самое можно сказать и о функциях, тождественно равных единице. Учитывая это, функции, тождественно равные нулю, мы отождествим с константой 0, а функции, тождественно равные единице, с константой 1 (и, следовательно, будем считать, что значением первой константы является число 0, а второй — число 1).
Для завершения интерпретации нам осталось только установить, при каких условиях равенство α = β следует признать верным (истинным). Будем считать, что α = β есть верное равенство, если α и β задают одну и ту же функцию, то есть, что если построить таблицы, соответствующие формулам α и β, таблицы эти полностью совпадут[14].
Нетрудно проверить, что каждая из 17 схем аксиом задает верное равенство. Проверим это, например, для схемы аксиом 6 (табл. 8).
Мы видим, что колонки нулей и единиц для схем формул (α V (β & γ)) и ((а V β) & (α V γ)) создают, что означает: при любом выборе α, β, γ они переходят в пару формул, задающих одну и ту же функцию. Таким образец, можно сказать, что схема аксиом 6 в нашей интерпретации оказывается схемой верных равенств.
Наконец, нетрудно проверить (эту проверку мы предоставляем читателю), что, действуя по нашим правилам вывода, мы из верного равенства всегда будем выводить верное же равенство.
В силу оказанного мы можем мыслить задаваемый нашим исчислением процесс порождения верных равенств. В этом процессе участвуют схемы аксиом, каждая из которых порождает бесконечно много верных равенств, и правила [b], при каждом применении! которых к верным равенствам порождается верное равенство. Как конкретно проходит подобный процесс порождения, мы покажем в связи со следующей интерпретацией — логической.
39
7. Название связано с тем, что в математической логике законы 9 и 10 впервые сформулировал Де Морган. Однако соответствующие правила были известны уже средневековым логикам.
40
8. Вместо этого «общего» правила замены равным в число постулатов можно было бы ввести более «конкретное» правило: если а = β то (γ & а) = (γ & β). (а & γ) = (β & γ); (γ V а) = (γ V β), (а V γ)-(β V γ)» ~а= ~β. «Общее» правило замены равным оказывается в этом случае производным правилом: его можно обосновать с помощью «конкретного» правила замены равным.
41
9. Обращаем внимание на то, что мы не стремимся к независимости постулатов нашего аппарата. Например, свойство рефлексивности отношения равенства оказывается в данном построении производным от свойств симметричности и транзитивности этого отношения и каждой из схем аксиом 7, 8, 11—15. Со свойствами отношения равенства можно подробнее ознакомиться по кн.: А. Тарский. Введение в логику и методологию дедуктивных наук. М., 1948, с. 90 и далее. О философских вопросах, связанных в равенством и отождествлением, см: Д. П. Горский. Вопросы абстракции и образование понятий. М., 1961.
42
10. То есть (а → β) ≝ (~а V β), где ≝ есть знак «равенства выражений по определению» («графического» их совпадения). Мы будем считать, что к равенствам по определению тоже применимы правила [b] (ср. ниже с. 64—65 и 69—70).
43
11. Различного рода исчисления равенств оказываются весьма полезным инструментом во многих разделах логики и оснований математики (ср. кн.: Р. Л. Гудстеин. Рекурсивный математический анализ. М., 1970, в которой исчисление равенств используется для построения и исследования фрагментов конструктивной математики; о конструктивном направлении в математике см. ниже, гл. 5 и далее). Систематическое представление различных логических систем в виде соответствующих исчислений равенств было осуществлено Г. И. Сыркиным в его курсах лекций «Алгебраические методы в логике», читанных на философском факультете МГУ в 1974—1975 гг. 1
44
12. Столбцы для аргументов от остальной части таблицы мы отделяем двойной вертикальной чертой. Обращаем внимание на то, что фигурирующие в таблицах 0 и 1 не следует смешивать с константами 0 и 1.