Сейчас я заканчиваю книгу о принципах математики[27], и в ней мне хотелось бы рассмотреть Вашу работу весьма подробно. Я уже имею в распоряжении Ваши книги или скоро куплю их, но я был бы весьма благодарен, если бы Вы прислали мне оттиски Ваших статей, опубликованных в периодических изданиях. Впрочем, если это невозможно, я могу читать их, беря в библиотеке.
Умение хорошо применять логику в фундаментальных вопросах, где бессильны формулы, встречается очень редко; в Ваших работах я нахожу лучшее из таких применений, имеющихся на сегодня, поэтому я разрешу себе выразить Вам свое глубокое уважение. Очень жаль, что Вы не опубликовали второй том «Основных законов»; надеюсь, что это все же будет сделано.
С уважением Бертран Рассел
В словах Рассела о втором томе книги Фреге не было, конечно, никакой иронии. Но была ирония судьбы, ибо этот том вот-вот должен был выйти в свет, когда Фреге получил письмо Рассела. Проявив редкую научную добросовестность и мужество, Фреге включил в книгу вышедшую в 1903 году, следующие слова:
«Вряд ли существует что-нибудь более нежелательное для ученого, чем после окончания работы увидеть, как рушатся ее основы. Именно в такое положение поставило меня письмо г-на Бертрана Рассела, полученное мной, когда книга была уже в печати»[28].
Как пишет американский логик X. Карри в своей книге «Основания математической логики», последствия письма Рассела были для Фреге трагическими. «Хотя ему тогда было всего пятьдесят пять лет и он прожил после этого более двадцати лет, он больше не опубликовал ни одной значительной работы по логике»[29]. Более того, после обнаружения противоречия Фреге два семестра не читал лекций в Иенском университете, профессором которого состоял, а потом, возобновив их, читал лекции по «записи в понятиях» и основаниям геометрии, но не по основаниям арифметики[30].
До конца дней он пытался найти выход из возникшей трудности обоснования арифметики, возложив все надежды на геометрию, — идя от нее, он пытался наметить пути обоснования и арифметики, и всей математики[31].
Но как бы нас ни трогала судьба Фреге, в первую очередь нам интересно, во что вылился логицизм как течение в основаниях математики и что стало с теоретико-множественной концепцией ее обоснования. Теории обладают значительно большей жизнеспособностью и стойкостью, чем люди. Что касается логицизма, то его взялся отремонтировать сам «разрушитель» — Бертран Рассел. Вместе с Альфредом Уайтхедом он издал в 1910—1913 годах труд «Principia Mathematica», в котором излагался новый вариант логико-множественного подхода к арифметике, где с помощью некоторых ограничений, наложенных на процесс формирования «вторичных» множеств приведенный в письме Рассела парадокс был исключен[32]. Однако система Рассела — Уайтхеда оказалась слишком громоздкой и базирующейся на допущениях, которые далеко не всем математикам и логикам представлялись убедительными[33].
Возникшие трудности были сигналом тревоги для тех специалистов, которые «отвечали» за основания математики. Источник противоречия, возникшего у Фреге, был, очевидно, в самом построении рассуждений. Поэтому надо было по-новому взглянуть на весь процесс математического доказательства и прежде всего проанализировать лежащие в его основе допущения. Так началась великая переоценка математических ценностей, которая далеко еще не закончилась и к настоящему времени, но уже дала ценнейшие плоды не только в математике и логике, но и в осмысливании проблем человеческого познания и его возможностей в создании машинных «усилителей интеллекта».
5. ПРОВОЗВЕСТНИКИ ПЕРЕМЕН
Мы уже сказали, что первой математической реакцией на трудности, обнаруженные при последовательном проведении теоретико-множественной установки в математике, они выразились не только в парадоксе Рассела, но и в ряде других формально-логических противоречий в канторовской теории, некоторые из которых были сформулированы даже раньше, чем противоречие в системе Фреге, были «ремонтные меры», предпринятые Расселом. Но этот мыслитель продолжал стоять на теоретико-множественной позиции.
Поэтому естественно, что нашлись люди, которые сочли эти меры полумерами и призвали математический мир пойти в отказе от прежнего образа мыслей гораздо дальше. Реформы ничего не дадут, провозгласили они, нужна революция! Одним из наиболее «левых» был голландский математик, уже получивший к тому времени известность своими работами в области топологии, Луитцен Ян Эгбертус Брауэр (1881—1966)[1]
При изложении платформы Брауэра возникают большие трудности, связанные с несколькими причинами. Брауэр все свои главные статьи по философии математики писал по-голландски, употребляя, как заявляют переводчики, специфические и тяжеловесные выражения, которым трудно найти эквиваленты в других языках. Он, по-видимому, не считал, что его философско-математические убеждения можно достаточно ясно объяснить другим людям; скорее, он носил в себе определенные ощущения того, какой, по его мнению, должна быть математика. Позиция Брауэра менялась и уточнялась с течением времени, и нет никакой гарантии, что многочисленные ее толкования достаточно правильны.
Попытаемся все же выделить некоторые главные пункты философско-математических установок Брауэра и его школы.
1. Единственным источником, порождающим математику, Брауэр считал человеческий интеллект, и в этом был солидарен с Декартом[2].
2. Особенность разума, дающая ему возможность создать математику, это некое ощущение времени, вернее, способность различать два последовательных момента времени как два разных момента. Эта способность порождает, в свою очередь, способность вести счет натуральным числам. Таким образом, у Брауэра натуральные числа выступают как нечто первичное, непосредственно данное глубинной человеческой интуиции. Именно из-за этого математика школы Брауэра названа интуиционистской математикой, а логика, принятая в этой математике» — интуиционистской логикой.
3. Из второго пункта вытекает, что «классическая» логика не является чем-то первоначальным, как ошибочно полагают логицисты. В глубинной интуиции даны лишь конечные образования — натуральные числа. На каком же основании классическую логику, которая могла возникнуть лишь как отражение опыта оперирования с конечными объектами, распространяют на бесконечные множества? К бесконечным множествам не всегда применим закон исключенного третьего (принцип: из двух высказываний, одно из которых есть отрицание другого, по крайней мере одно истинно).
Этот важнейший пункт брауэровской критики классической логики и теоретико-множественной математики требует пояснения. Воспользуемся известным примером. Рассмотрим высказывание(*) «В десятичном представлении числа я либо имеется девять нулей подряд, либо не имеется». Это высказывание подпадает под схему закона исключенного третьего (а V ~а) и с «классических» позиций должно быть признано верным.
84
27. Имеется в виду книга Б; Рассела «Принципы математики», которая вышла два года спустя(В. Russell. The Principles of Mathematics. Cambridge (Engl.), 1993).
85
28. Этими словами начинается послесловие Фреге ко второму тому «Основных законов арифметики» (с. 253).
87
30. См. L. Kreiser. Geschichte und logisch-semantische Probleme des wissenschaftlichen Werkes Fregess. In: G. Frege. Schriften zur Logik. Aus dem Nachlaβ. Berlin. 1973.
88
31. Это стало известно после опубликования первого тома научного наследства Фреге: G. Frege. Nachgelassene Schriften. Bd. I. Hamburg, 1969. В рецензии на эту книгу, написанной Б. В. Бирюковым и Н. Н. Нуцубидзе и помещенной в издании «Новые книги за рубежом по общественным наукам», 1974, 6, читатель найдет рассказ об эволюции взглядов Фреге под конец жизни и о судьбе его научного наследия, в известном смысле разделившего научную трагедию Фреге.
89
32. Это была известная «теория тинов», разработанная Расселом еще до публикации «Principia Mathematica». О теории типов см. книгу С. К. Клини, указанную в примечании 15.
90
33. Следует вместе с тем заметить, что труд А. Н. Уайтхеда и Б. Рассела (A. N. Whitehead, B. Russell. Principia Mathematica. Vol. I, 1910; vol. II, 1912; vol, III, 1913, Cambridge, Engl.) явился важной: вехой в развитии математической логики и оснований математики. От него в знаяительной мере отправляются последующие работы в этой области, в частности исследования К. Гёделя (см. ниже).
91
1. Развертывание своей философско-матемагической платформы Брауэр начал со статьи «Недостоверность логических принципов», опубликованной в 1908 г. на голландском языке. Хорошее представление о взглядах Браузра дает кн.: Г. Веиль. О философии математики. М.-Л. 1934.
92
2. «Всякая наука. - считал Р. Декарт, заключается в достоверном и очевидном познании, которое есть деятельность интеллекта. Возможны только два действия интеллекта, «посредством которых мы можем придти к познанию вещей, не боясь никаких ошибок, это интуиция и дедукция, «поэтому из всех наук только математика чиста «от всего ложного и недостоверного»,; опытное же познание «часто вводит вас в заблуждение» (Р. Декарт. Набранные произведения. [М.]» 1950, с. 81—86). О параллелях между взглядами Декарта и философскими установками Брауэра см. ниже.