Возьмем теорему Больцано — Вейерштрасса о наличии у ограниченной числовой последовательности точки сгущения. Под точкой сгущения последовательности понимается точка числовой оси, к которой как угодно близко подходят точки, представляющие числа данной последовательности. Скажем, для последовательности 1/2, 1/3, 1/4, 1/5,...точкой сгущения является нулевая точка, так как какое бы сколь угодно малое положительное число е мы ни взяли, для него обязательно отыщется член нашей последовательности, отличающийся по своей абсолютной величине от нуля меньше, чем на е.
Теорема Больцано — Вейерштрасса доказывается с помощью дихотомии. Ограниченная последовательность (по определению) может быть целиком заключена в пределы некоторого отрезка числовой оси. Разделим этот отрезок пополам. По меньшей мере на одной из его половин (а может и на обеих) имеется бесконечное множество точек последовательности, иначе, если бы на обеих половинах было конечное число точек, то их вообще было бы конечное число, что противоречит предположению о бесконечности последовательности. Возьмем как раз ту половину, где имеется бесконечное множество точек последовательности, разделим ее снова пополам и повторим рассуждение. В конце концов (при бесконечном продолжении процесса) мы придем к единственной точке, принадлежащей всем нашим уменьшающимся вдвое отрезкам, — это и будет точка сгущения.
В самом деле: если предположить, что эта точка не есть точка сгущения, то вокруг нее существует некоторая зона, где нет точек нашей последовательности; но уменьшающиеся отрезки, каждый из которых содержит не одну, а бесконечное множество точек последовательности, стягиваются вокруг этой точки и рано или поздно войдут в любую зону, как бы мала она ни была. Противоречие и доказывает теорему[10].
Для интуициониста это рассуждение ничего не стоит. Ясно, скажет он, что мы не сможем фактически обнаружить тот отрезок, на котором расположено бесконечное множество членов последовательности. Действительно, как это сделать? Считать число членов, попавших на каждую из половин? Это приведет к цели лишь в том случае, если на одной из половин окажется конечное число членов: тогда мы возьмем другую половину. А если мы считаем, считаем и считаем — и все время и на одной и на другой половине будут обнаруживаться новые точки — тогда как быть? Ведь как бы долго ни происходил этот пересчет, мы не вправе заключить, что точек бесконечное множество: нет гарантии, что они через некоторое время не иссякнут. Поэтому построить точку сгущения таким способом невозможно. А раз так, то из нелепости предположения об отсутствии точки сгущения не следует ее наличие.
Учтя центральное положение теоремы Больцано—Вейерштрасса в дифференциальном исчислении и распространенность в анализе доказательств с подобной же схемой рассуждений, можно представить себе, в какое затрудни» тельное положение попадает математика, если такие рассуждения будут «запрещены» — объявлены нестрогими. Естественно, что программа Брауэра вызвала среди ведущих математиков того времени самое различное отношение - одни приветствовали ее (среди них был, например, Гермад Вейль, решительно выступивший в поддержку Брауэра), другие — а таких было большинство — выступили с резкими возражениями. Самым авторитетным оппонентом интуиционизма стал Давид Гильберт (1862—1943).
Гильберта считают величайшим математиком XX века. Диапазон его работ внушает изумление. Он внес огромный вклад в теорию инвариантов групп и теорию алгебраических чисел, разработал основания геометрии, решил многие проблемы вариационного исчисления, исследовал вопросы дифференциальных уравнений, развил теорию интегральных уравнений, создал аппарат функционального анализа и поставил на новую основу математическую физику. Влияние Гильберта на современную ему математику было невероятным. Геттингенский университет, профессором которого он был с 1902 по 1930 год, стал мировой «Меккой математиков». В 1900 году на Втором Международном конгрессе математиков в Париже Гильберт делал обзорный доклад о проблемах математики в целом — вещь, на которую не отваживался больше никто. В этом знаменательном для истории науки докладе он выдвинул знаменитые двадцать три «проблемы Гильберта», задавшие исследователям работу на десятилетия и в некотором смысле определившие направление поисков.
Бунт Брауэра Гильберт воспринял как сигнал о неблагополучном положении во всем математическом хозяйстве и срочно стал искать средства ликвидировать возникшие неполадки. С начала двадцатых годов важнейшим делом Гильберта становятся исследования в области оснований математики. Эта работа тем более была ему сподручна, что еще в 1898 году он написал знаменитую книгу «Основания геометрии» (а в последующие годы опубликовал ряд работ по проблемам оснований математического знания). В этой книге подводился итог огромной работе математиков, физиков и философов в области осознания природы геометрической науки — работы, начатой еще создателями неэвклидовых геометрий. Для понимания той программы, которую Гильберт противопоставил плану Брауэра, полезно познакомиться с основным замыслом «Оснований геометрии»[11].
Работы Фреге ясно показали (хотя сам Фреге с этим не был согласен[12]): абстрактная (и тем более формальная, то есть основанная на формализованной логике) теория сама по себе не может быть «верной» или «неверной» с точки зрения содержания. Содержательные соображения получают право на существование только тогда, когда установлена интерпретация формальной системы, то есть когда система использована как схема каких-то «реальных» явлений. Но какова «природа» элементов абстрактной, формальной системы? В частности, что такое точки и прямые абстрактной геометрии?
Гильберт подробно осветил этот вопрос в своей книге. Точки, прямые и плоскости он назвал «тремя системами вещей», удовлетворяющих аксиомам геометрии. Таким образом, он объявил аксиомы скрытыми (неявными) определениями основных понятий некоторой абстрактной структуры. Точки, прямые и плоскости — это любые вещи, которые подчинены условиям, что для любых двух точек существует прямая и притом только одна, проходящая через каждую из этих точек; что через прямую и точку, на ней не лежащую, проходит одна и только одна плоскость, и т. д. Все это соответствовало естественному движению математики к аксиоматическому методу. Но оставалась нерешенная деталь: в чем все-таки состоит гарантия того, что система аксиом геометрии удовлетворяет требованию логически непротиворечивости? Ясно, что ссылки на применения геометрии к другим областям, ни разу не приводившие к противоречиям, не являются залогом того, что противоречия и впредь не возникнет. Чтобы с полным спокойствием применять геометрию в сфере физики и других конкретных наук, следовало бы иметь более строгие доказательства того, что этот аппарат с точки зрения своей внутренней структуры абсолютно надежен. Ведь система, в которой не возможно доказать некоторое положение и его отрицание, заведомо не годится ни для какой интерпретации. Гильберт показал, что непротиворечивость геометрии такова же, как и непротиворечивость арифметики, то есть, что если арифметика непротиворечива, то непротиворечива и геометрия. Итак, все замкнулось на арифметику.
Когда началось брожение математических умов, вызванное обнаружением парадоксов теории множеств и лозунгами Брауэра, Гильберт вновь вернулся к проблемам обоснования математики. Надо было продолжить работу с того пункта, на котором она была закончена, перейти к отысканию способов доказательства непротиворечивости арифметики. Но почему Гильберт рассматривал такое доказательство как решающий аргумент против интуиционизма?
Это было связано с его теорией «идеальных элементов» в математике. Гильберт принимал, что бесконечные множества не соответствуют ничему реальному в природе. Но ведь и в задачах, где исследуются целые числа, могут в промежуточных фазах вычисления встретиться дроби, которые тоже ничему в данном случае не соответствуют и которые в окончательный результат не войдут, они введены нами для удобства вычислений, из соображений формальной простоты и компактности. То же можно сказать о комплексных числах, встречающихся в уравнениях прогиба стержней. Комплексные числа не описывают непосредственно стержня, но, появляясь в промежуточных стадиях вычисления, сокращают путь решения задачи, делают решение лаконичным и простым. Иными словами, кратчайшая дорога, соединяющая области реальные, может пролегать по области «воображаемых» объектов — «идеальных элементов». Мы сможем без опаски пользоваться этими элементы ми, если докажем раз навсегда, что теория, построенная с их участием, не приведет к противоречию[13]. И тогда не нужно искать никакой «изначальной индукции» разума или других столь же туманных источников надежности математики. Ее надежность — это ее непротиворечивость, другие требования просто лишены смысла.
99
10. Мы набросали лишь идею доказательства. Точную формулировку теоремы и полное ее доказательство можно найти, скажем, в кн.:
Г.М. Фихтенгольц. Основы математического анализа. Т. I. М.. 1960, с. 105—106.
101
12. И вступил по этому поводу в полемику с Гильбертом (переписка Фреге и Гильберта по данному вопросу опубликована в «Sitzungsberichte der Heidelberger Akademie der Wissenschaften.». Jahrgang 1940, 6. Abhandlung, Heidelberg, 1940; 1941, 2. Abhandlung, Heidelberg, 1941).
102
13. Гильберт говорит: «с применением метода идеальных элементов связано одно условие, одно единственное, но необходимое, это доказательство непротиворечивости. Именно, расширение посредством пуюбщения идеальных элементов дозволено только в том случае, когда при этом в старой, более узкой области не-возникает никаких противоречий, то есть если соотношения, которые выявляются для старых образов при исключении идеальных образов, всегда остаются справедливыми в этой старой области» (Д. Гильберт. Обоснования математики. Добавление IX в его книге «Основания геометрии», с. 376).