Создаваемые математиком образы, подобно образам художника или поэта, должны обладать красотой; подобно краскам или словам, идеи должны сочетаться гармонически. Красота служит первым критерием: в мире нет места безобразной математике.
Если формулы Эйлера, касающиеся кёнигсбергских мостов и многогранников, знаменуют рождение топологии, а работы Листинга, Мёбиуса, Римана, Клейна и других математиков XIX века — годы ее юности, то признаком наступления зрелого возраста стали труды Анри Пуанкаре. И до него существовали теоремы, которые сегодня мы относим к топологическим, но лишь в самом конце XIX века Пуанкаре систематизировал эту область.
Изучая полное собрание его трудов, мы замечаем общую тему: топологический взгляд на математику. Быть может, этот качественный подход к предмету объясняется его нелюбовью (или, как он сам говорил, затруднениями) к математическим вычислениям. А быть может, это реакция на печально известное отсутствие художественных способностей (вспомните, он называл геометрию «искусством рассуждений о плохо нарисованных фигурах»). Как бы то ни было, Пуанкаре в конце концов сам увидел эту общую черту и написал: «К какой бы задаче я ни приступал, она приводила меня к Analysis Situs»205.
Пуанкаре имел в виду первопроходческую 123-страничную статью Analysis Situs206, написанную в 1895 году. За последующие десять лет он написал ее продолжение в пяти основополагающих частях, которые сам называл дополнениями207. Об этих шести статьях Жан Дьедонне писал:
Как и во многих своих статьях, он дал волю своему воображению и необычайно развитой «интуиции», которая очень редко уводила его не в ту сторону; почти каждый раздел содержит оригинальную идею. Но не следует нам искать точных определений, и зачастую приходится из контекста догадываться, что он имел в виду. Многие результаты он вообще оставил без доказательства, а если и давал себе труд привести доказательство, то чуть ли не каждый аргумент вызывает сомнения. Эта статья на самом деле является чертежом для будущих разработок совершенно новых идей, и чтобы под каждую из них подвести твердые основания, потребовалось создать новые методы208.
Представьте себе Джонни-яблочное семечко[17], который бродил по пустошам и разбрасывал семена, из которых впоследствии выросли плодоносящие сады. Вряд ли будет преувеличением сказать, что почти все исследования по топологии до начала 1930-х годов выросли из этой работы Пуанкаре.
Один из его современников писал: «В области Analysis Situs Пуанкаре недавно принес нам множество новых результатов, но в то же время поднял множество новых вопросов, которые все еще ждут своего разрешения»209. Пробелы и прорехи в рассуждениях Пуанкаре действительно были, и для их устранения понадобилось время. Интуитивный подход к предмету, характерный для Пуанкаре и его предшественников, нужно было подкрепить солидными математическими аргументами. Строгость и единый стандарт доказательств в топологии появились примерно в 1910 году, и еще несколько десятилетий ушло на возведение прочной конструкции по чертежам Пуанкаре.
Один из многих важных вкладов Пуанкаре — изобретение понятия гомологии. Это остроумный способ формализовать изучение римановых чисел связности и их многомерных обобщений Бетти. В наши дни гомология — одно из основных средств анализа многообразий. Пуанкаре ввел это понятие в Analysis Situs и уточнял в каждом дополнении. Потребовалось примерно тридцать лет, чтобы теория гомологий приняла современную форму.
Описание теории гомологий — все равно, в современных терминах или по Пуанкаре — выходит за рамки этой книги. Вместо этого мы ограничимся поверхностным изложением, полагаясь на интуицию. Мы обсудим не n-мерный вариант, а лишь 1-мерную гомологию на поверхностях.
Один из способов интерпретировать 1-мерную гомологию заключается в том, чтобы взглянуть на петли, нарисованные на поверхности. Не будем фиксировать петлю, а позволим ей перемещаться по поверхности. Она может как угодно растягиваться, укорачиваться и извиваться, лишь бы не разрывалась и не покидала поверхность.
Простейшей из возможных является топологически тривиальная петля, которую можно стянуть в точку. Она может произвольно виться по поверхности, но не должна окружать дырки. Например, поскольку в сфере нет дырок, любую петлю, нарисованную на ее поверхности, можно стянуть в точку.
Простейшие поверхности — это те, на которых, как на сфере, любая петля топологически тривиальна. Такая поверхность называется односвязной. Как видно по рис. 23.1, диск и сфера односвязные, а кольцо и тор — нет.
17
Житель США, ставший впоследствии фольклорным персонажем. См. ru.m.wikipedia.org/wiki/Джонни_Эпплсид —