В связи с одной конкретной топологической проблемой было вручено целых три филдсовских премии. Это одна из самых знаменитых нерешенных задач XX века — настолько важная и трудная, что математику, решившему ее, обещана награда 1 миллион долларов. Называется эта проблема гипотезой Пуанкаре.
Теорема классификации поверхностей — одна из самых элегантных теорем во всей математике. Она утверждает, что любая поверхность однозначно определяется ориентируемостью, эйлеровой характеристикой и числом компонент края. Понятно, что было бы хорошо иметь подобную теорему для многообразий любой размерности, но это чрезвычайно сложная задача. Ясно, что если такая классификация и существует, то приведенного выше перечня недостаточно, поскольку характеристика Эйлера-Пуанкаре любого замкнутого многообразия нечетной размерности рана нулю (см. главу 23).
Пуанкаре мечтал о классификации многомерных многообразий, но даже в трехмерном случае эта задача не поддалась его усилиям. Гипотеза Пуанкаре стала только первым шагом в процессе этой классификации.
Простейшим замкнутым n-мерным многообразием является n-мерная сфера Sn. Пуанкаре искал простой критерий, который позволил бы узнать, гомеоморфно ли данное n-мерное многообразие в сфере Sn. В 1900 г. он думал, что нашел такой критерий. Он доказал215, что любое n-мерное многообразие, гомологичное Sn, должно быть гомеоморфно Sn. Гомология n-мерной сферы особенно проста. Ее числа Бетти равны 1 для размерностей 0 и n, 0 для всех остальных размерностей, и зацепления нет.
Через четыре года он понял, что доказательство содержало ошибку216. И не только нашел собственную ошибку, но и обнаружил замечательный контпример к своему же утверждению. Он построил патологическое 3-мерное многообразие, имеющее такую же гомологию, как S3, но не гомеоформное S3. Для этого он склеил противоположные грани сплошного додекаэдра, повернув каждую на 36° по часовой стрелке.
Интересное и неожиданное свойство додекаэдрического пространства Пункаре состоит в том, что хотя его первое число Бетти равно 0, оно не является односвязным. То есть любой цикл гомологичен нулю, но существуют циклы, которые нельзя стянуть в точку. На рис. 23.3 мы видели пример нетривиального гомологичного нулю цикла на двойном торе, но в додекаэдрическом пространстве всякий цикл, который нельзя стянуть в точку, гомологичен нулю.
Из этого экзотического примера Пуанкаре сделал вывод, что одной гомологии недостаточно, чтобы охарактеризовать не только Sn, но даже S3. Поэтому он отложил в сторону вопрос в n-мерном случае и сосредоточился на 3-мерных многообразиях. Он подозревал, что если все циклы на 3-мерном многообразии топологически тривиальны, то многообразие должно быть геомеоморфно S3. Это и стало содержанием знаменитой ныне гипотезы Пуанкаре217.
На самом деле в статье Пуанкаре это утверждение выдвигалось не в виде гипотезы, а в виде вопроса. Он не сформулировал своего мнения о том, каким будет ответ. Доказательство этой теоремы, конечно, несопоставимо с классификацией всех трехмерных многообразий, но стало бы важным первым шагом.
Знатные вызовы всем по вкусу, а уж гипотеза Пуанкаре — всем вызовам вызов. Она вошла в короткий список задач — вместе с теоремой о четырех красках, великой теоремой Ферма и гипотезой Римана, — получивших мистический статус. Как и остальные проблемы из этого списка, гипотеза Пуанкаре целиком захватывала тех, кто над ней работал. Несть числа молодым математикам, вступившим в эту схватку. Как писал один журналист, «математики говорят о гипотезе Пуанкаре, как Ахав толковал о Белом ките»218. Начиная с 1904 года многие заявляли, будто нашли доказательство. Но до недавнего времени все доказательства содержали дефекты — иногда тонкие ошибки, укрывшиеся в сотнях страниц глубокой математики.
В конце концов, гипотеза была обобщена на n-мерные многообразия — любое n-мерное многообразие, в достаточной степени похожее на n-мерную сферу, должно быть гомеоморфно Sn. Может показаться, что это обобщение до нелепости амбициозно. Как можно доказать его для n = 100, если мы даже для n = 3 не можем этого сделать? Если я лежа не могу выжать 80 килограммов, то с чего я вообразил, будто смогу поднять 225? Но, как ни странно это звучит, для больших n гипотеза проще! Часто бывает, что топология в пространствах малой размерности сложнее, чем в случае большой размерности. Грубо говоря, чем больше измерений, тем больше свободы двигать предметы, избегая столкновений.