Легко видеть, что это именно то, что подразумевали греки. Они считали грани многогранника основаниями, на которые можно его поставить. Каждый многогранник на рис. 2.1 может стоять на любой из своих граней, тогда как у любого многогранника на рис. 2.2 есть хотя бы одна грань, на которую его поставить нельзя. Позже, когда в нашем распоряжении будет больше инструментов, мы сможем применить формулу Эйлера к более широкому классу многогранников, а пока для простоты и по историческим причинам будем рассматривать только выпуклые многогранники.
Прежде чем двигаться дальше, остановимся еще на одном историческом споре: является многогранник сплошным или полым? Некоторые определения настаивают на том, что многогранник — это сплошной трехмерный объект, тогда как, согласно другим, это полое тело, состоящее из двумерной оболочки. Сторонники первого определения стали бы изготавливать многогранник из глины, а сторонники второго — из бумаги. На заре истории многогранников предполагалось, что они сплошные. На протяжении многих веков их так и называли — «сплошными телами». Позже, когда теория многогранников перешла в ведение топологии, их стали считать полыми. Нас, как правило, будет устраивать та и другая модель. Мы не станем делать на этот счет предположений, если не возникнет острой необходимости.
Приложения к главе
22. Hemingway (1932), 122.
23. Francese and Richeson (2007).
24. Poincare (1913), 434.
Глава 3
Пять идеальных тел
Всегда есть какое-то «до». Исходная точка — лишь уловка, и какую точку считать исходной, зависит от того, насколько она определяет последствия.
Современная геометрия, как, впрочем, и значительная часть всей современной математики, корнями уходит в работы древних греков. В период от Фалеса (ок. 624–547 до н. э.) до смерти Аполлония (ок. 262–190 до н. э.) греки создали поразительный корпус математических работ, а имена многих ученых той поры знакомы любому школьнику: Пифагор, Платон, Евклид, Архимед, Зенон и т. д.
Хотя греки, возможно, испытывали влияние математиков из Египта, Месопотамии, Китая и Индии, скоро они освоили эту дисциплину, сделав ее своей. Как писал Платон в «Послезаконии»: «Когда греки что-то заимствуют у негреков, они доводят это до высшего совершенства»26. В отличие от более ранних цивилизаций, для которых главной целью была полезность, греки стремились понять суть математики и дать строгие доказательства утверждений. Ушли в прошлое формулы, применяемые для приближенных вычислений. Точность, логика и истина — вот в чем состояли цели их исследований.
Греки были в восторге от геометрии, и их достижения в этой области слишком многочисленны, чтобы их здесь перечислять. Не будет преувеличением сказать, что большая часть геометрии, изучаемой в школе, открыта греками. Но нас будет интересовать только греческая теорема о правильных многогранниках. Это одна из самых знаменитых и красивых теорем во всей математике (заняла четвертое место в опросе, упомянутом в главе 1).
Эти пять многогранников показаны на рис. 3.1. В трех из них грани являются равносторонними треугольниками: тетраэдр (4-гранная пирамида), октаэдр (двойная пирамида с 8 гранями) и 20-гранный икосаэдр. Куб составлен из 6 квадратов, а додекаэдр — 12-гранник, состоящий из правильных шестиугольников. (В приложении A описано, как склеить правильные многогранники из бумаги.)
Рис. 3.1. Пять правильных многогранников: тетраэдр, октаэдр, икосаэдр, куб и додекаэдр
Красочная история этих интригующих многогранников начинается с греков, тянется через Возрождение и доходит до наших дней. Доказательство того, что существует всего пять правильных многогранников, приведено в последней книге «Начал» Евклида (в главе 8 мы представим еще одно доказательство с использованием формулы Эйлера для многогранников). Платон полагал, что правильные многогранники — составные части материи вообще. Поскольку он включил их в свою атомистическую теорию, они называются платоновыми телами. Астроном Иоганн Кеплер (1571–1630) использовал правильные тела в ранней модели Солнечной системы.
Красоту часто видят в регулярности, симметрии и совершенстве. Все мы знакомы с двумерными правильными многоугольниками. Многоугольник называется правильным, если все его стороны и все его углы равны. Равносторонний треугольник — единственный правильный многоугольник с тремя сторонами, квадрат — единственный правильный многоугольник с четырьмя сторонами и т. д. (см. рис. 3.2). Существует бесконечно много правильных n-угольников, по одному для каждого n > 2.