Нарушение авторских прав
Пиратство в интернете по-прежнему остается насущной проблемой. Издательства «ДМК Пресс» и Princeton очень серьезно относятся к вопросам защиты авторских прав и лицензирования. если вы столкнетесь в интернете с незаконной публикацией какой-либо из наших книг, пожалуйста, пришлите нам ссылку на интернет-ресурс, чтобы мы могли применить санкции.
Ссылку на подозрительные материалы можно прислать по адресу электронной почты dmkpress@gmail.com.
Мы высоко ценим любую помощь по защите наших авторов, благодаря которой мы можем предоставлять вам качественные материалы.
Предисловие
Математика — это автомат по переработке кофе в теоремы.
Весной моего последнего года учебы в колледже я сказал приятелю, что осенью собираюсь получать степень доктора философии по математике. Он спросил: «А что ты собираешься делать в аспирантуре: изучать очень большие числа или вычислять новые знаки числа пи?»
Я на опыте знаю, что публика в большинстве своем очень слабо представляет, что такое математика, и уж, конечно, совершенно не понимает, чем занимаются математики. Люди с удивлением узнают, что в математике по-прежнему создается что-то новое. Они думают, что математика сводится к изучению чисел или что это серия курсов, которая обрывается на математическом анализе.
Но лично меня числа никогда особенно не интересовали. Устный счет — не моя стихия. Я могу посчитать, какую часть счета за обед должен оплатить, и вычислить размер чаевых, не прибегая к помощи калькулятора, но это займет у меня столько же времени, сколько у любого другого человека. А матанализ был самым нелюбимым мной предметом в колледже.
Мне нравится находить закономерности — особенно в визуальных образах — и разбираться в запутанных логических рассуждениях. Книжные полки в моем кабинете забиты сборниками задач и головоломок, на полях которых сохранились мои детские пометки. Передвинуть три спички, чтобы образовалась новая фигура, найти в лабиринте путь, удовлетворяющий определенным условиям, разрезать заданную фигуру на части, из которых можно сложить квадрат, добавить в чертеж три отрезка, чтобы получилось девять треугольников, и другие задачки такого рода. Вот чем для меня является математика.
Из-за любви к пространственным, визуальным и логическим задачам я всегда испытывал влечение к геометрии. Но, учась в колледже, я открыл для себя очарование топологии, которую обычно определяют как изучение нежестких фигур. Сочетание красивой абстрактной теории с конкретными пространственными манипуляциями точно отвечало моим математическим вкусам. Гибкое и свободное топологическое представление о мире вселяло в меня ощущение комфорта существования. По сравнению с ним геометрия казалась такой пуританской и консервативной. Если геометрия облачена в строгий пиджак, то топология носит джинсы и футболку.
Эта книга посвящена истории и прославлению топологии. Рассказ начинается с предыстории — геометрии античной Греции и Возрождения и изучения многогранников. Затем мы перейдем к XVIII и XIX столетиям, когда ученые пытались ухватить идею формы и классифицировать объекты, не ограничиваясь жесткими рамками геометрии. И кульминационной точкой станет современная топология, получившая развитие в начале XX века.
В школе и в вузе мы изучали математику по учебникам. В учебниках математика излагается строгим, логически последовательным образом: определение, теорема, доказательство, пример. Но открывали математику не так. Много лет уходило на то, чтобы понять предмет настолько хорошо, чтобы связно изложить его в учебнике. Математика развивается то медленно и постепенно, то гигантскими скачками, бывают шаги в ложном направлении, за которыми следуют исправления и установление связей. В этой книге мы увидим увлекательный процесс математического открытия в действии — как блестящие умы размышляют, задают вопросы, уточняют, развивают и изменяют работы своих предшественников.
Я не стал просто излагать историю топологии, а взял формулу Эйлера для многогранников в качестве путеводителя. Открытая в 1750-м, формула Эйлера знаменует начало перехода от геометрии к топологии. Мы проследим, как эта формула из любопытного курьеза превратилась в глубокую и полезную теорему.