В то время открытие иррациональных чисел было еще довольно свежим событием, а об их свойствах было известно немногое. Теэтет внес важный вклад в классификацию и организацию иррациональных чисел. Позже эта классификация составит большую часть десятой книги «Начал» Евклида.
Несмотря на споры о том, кто был первооткрывателем пяти правильных тел, нет почти никаких сомнений в том, что именно Теэтет первым подверг их всестороннему и строгому изучению. Благодаря Теэтету были выполнены все три этапа разработки теории, которые мы обсуждали в главе 3. Во-первых, все пять тел были известны, и Теэтет смог построить их геометрически. Во-вторых, он осознал общую черту всех пяти тел — их правильность. И наконец, он доказал, что эти тела — единственные правильные многогранники. Доказательства и построения Теэтета приведены в XIII книге евклидовых «Начал». Вообще, многие историки полагают, что вся математика в книгах X и XIII «Начал» — результат работ Теэтета.
В наши дни Платон больше известен как философ и писатель, но одним из его важнейших вкладов в науку стало создание школы, Академии. Академия открылась в пригороде Афин приблизительно в 288 году до н. э. через десять лет после казни Сократа. ее целью стала подготовка молодых людей к общественной жизни путем изучения наук и в особенности математики. Платон верил, что, изучая математику, мы учимся отделять свой разум от чувств и пристрастий. Академия существовала свыше 900 лет. Ее основание было названо «в некоторых отношениях самым памятным событием в истории западноевропейской науки»34.
О математических достижениях Платона ничего неизвестно, но он сыграл важную роль в популяризации этого предмета. Он был влюблен в математику и ставил математиков очень высоко. Математика была основой учебного курса в Академии. Это с очевидностью следует из надписи над входом в нее: «Негеометр да не войдет». Поскольку многие математики обучались и воспитывались в Академии, Платона называют не делателем математики, а «делателем математиков»35.
Будучи главой Академии, Платон поручал конкретное преподавание другим людям. Одним из них был Теэтет, и есть предположение, что он преподавал в Академии на протяжении пятнадцати лет36.
Именно от Теэтета Платон узнал о пяти правильных телах. Платон оценил их важность для математики и красоту. Как и многие более поздние мыслители, он полагал, что у такой великолепной совокупности пяти объектов должно быть некое космическое значение. Платон был знаком с представлением о Вселенной, выдвинутым Эмпедоклом (ок. 492–432 до н. э.), который утверждал, что вся материя создана из четырех первичных элементов: земли, воздуха, огня и воды. Эти четыре элемента играют важную роль в диалоге Платона «Тимей» — рассказе о вымышленном споре между Сократом, Гермократом, Критием и Тимеем. В длинном монологе пифагорейца Тимея Локрийского Платон изложил хорошо проработанную атомистическую модель, в которой каждый из четырех элементов, которые Платон называл телами, или корпускулами, ассоциируется с одним из правильных многогранников:
Земле мы, конечно, припишем вид куба, ведь из всех четырех родов наиболее неподвижна и пригодна к образованию тел именно земля, а потому ей необходимо иметь самые устойчивые основания… Значит, мы не нарушим правдоподобия, если назначим этот удел земле, а равно и в том случае, если наименее подвижный из остальных видов отведем воде, наиболее подвижный — огню, а средний — воздуху; далее, наименьшее тело огню, наибольшее — воде, а среднее — воздуху, и, наконец, самое остроугольное тело — огню, следующее за ним — воздуху, а третье — воде.
Из этих положений Тимей делает вывод, что огню соответствует тетраэдр, воздуху — октаэдр, а воде — икосаэдр. Пятому правильному телу, додекаэдру, не может соответствовать ни один элемент. Тимей заключает, что «его бог определил для Вселенной и прибегнул к нему в качестве образца»37.
Далее Тимей описывает взаимодействия элементов. Взаимодействия основаны на разрезании и раздроблении: более острые элементы склонны к разрезанию, а менее острые — к раздроблению. Мы описали бы это как химические реакции между огнем, воздухом и водой (но не землей, потому что у нее квадратные грани). Элементы разрушаются, и треугольные грани изменяют форму, создавая другие элементы. Например, один элемент воды (состоящий из 20 равносторонних треугольников) можно разложить на части и образовать из них три элемента огня (3 4 = 12 треугольников) и один элемент воздуха (8 треугольников). Тимей замечает, что наличие разных видов материи можно объяснить неодинаковостью размеров элементов. Он также не оставляет без внимания явление фазового перехода: плавление и отвердевание. Например, он говорит, что металл — это плавкая вода (в отличие от жидкой воды), составленная из крупных и однородных икосаэдров, благодаря которым она кажется твердой. В результате вторжения острых тетраэдров икосаэдры разделяются, металл расплавляется и приобретает способность течь, как жидкость.