Рис. 5.4. Это невыпуклое платоново тело?
При внимательном изучении доказательства выясняется, что Евклид упустил из виду некоторые тонкие детали. В частности, он не исключил возможности существования двух различных многогранников, составленных из правильных n-угольников и таких, что в каждой вершине сходится m граней. Например, быть может, существует многогранник, отличный от икосаэдра, образованный равносторонними треугольниками, сходящимися по пять в каждой вершине. Евклид неявно предполагал, что такое невозможно. Евклид оказался прав в предположении выпуклости, но без него это уже не так. На рис. 5.4 мы видим невыпуклый многогранник с такими же свойствами, как у икосаэдра, — он состоит из двадцати равносторонних треугольников, сходящихся по пять в каждой вершине. Единственное отличие в том, что одна вершина вдавлена внутрь, так что многогранник невыпуклый.
Такие пары многогранников, как икосаэдр и невыпуклый икосаэдр, показанный на рис. 5.4, называются стереоизомерами (термин заимствован из химии). Они составлены из одного и того же набора граней, соединенных вдоль одних и тех же ребер.
И еще остается вопрос об изгибаемости многогранников. Представим себе, что многогранник изготовлен из жестких металлических граней с шарнирными ребрами. По меньшей мере, к Эйлеру восходит гипотеза о том, что такой многогранник не может изгибаться, пусть даже все ребра шарнирные. Его форму нельзя изменить растяжением или сжатием. В 1766-м Эйлер писал, что «замкнутая пространственная фигура не допускает изменений, пока не рвется»42. Доказать эту гипотезу важно, потому что если хотя бы один из правильных многогранников изгибаемый, то мы имели бы целое семейство стереоизомеров, а значит, бесконечное число немного различающихся правильных многогранников. Это стало бы приговором доказательству Евклида.
Как выясняется, Евклид был прав, но строгое доказательство было дано лишь спустя две тысячи лет плодовитым французским математиком Огюстеном Луи Коши (1789–1857). В 1811 году Коши доказал, что любые два выпуклых стереоизомера должны быть одинаковы43. Иными словами, зная все грани выпуклого многогранника и то, какие грани соседствуют друг с другом, мы знаем точную геометрию многогранника. Из этой знаменитой теоремы, в частности, следует, что пять платоновых тел — действительно единственные правильные многогранники. Из нее же следует, что любой выпуклый шарнирный многогранник не изгибается. Этот последний факт известен под названием теоремы о жесткости выпуклых многогранников. Интересно, что предположение о жесткости не выполняется для невыпуклых шарнирных многогранников, и этот факт был установлен только в 1877 году. Американский математик Роберт Коннелли построил первый пример изгибаемого невыпуклого многогранника44.
Последний значительный вклад греков в теорию правильных тел связан с именем Архимеда из Сиракуз. Архимед ввел понятие полуправильных тел. Полуправильное тело, как и правильное, — это выпуклый многогранник, гранями которого являются правильные многоугольники, но эти многоугольники необязательно должны быть одного типа. Кроме того, требуется, чтобы все грани с одинаковым числом сторон были конгруэнтны, а все вершины идентичны (т. е. порядок следования граней, сходящихся в каждой вершине, одинаков, и любую вершину можно повернуть так, что она совпадет с любой другой вершиной, при этом многогранник перейдет в себя). На рис. 5.5 показаны три полуправильных многогранника. Работа Архимеда утрачена, но из следующего отрывка Паппа (ок. 290–350 н. э.) мы знаем, что Архимед нашел тринадцать полуправильных тел:
Хотя можно представить себе геометрические тела с самыми разными гранями, наибольшего внимания заслуживают те, что имеют правильную форму. К ним относятся не только пять тел, найденных богоподобным Платоном. но также тела, общим числом тринадцать, открытые Архимедом и составленные из равносторонних и равноугольных, но не одинаковых многоугольников45.
Рис. 5.5. Три полуправильных многогранника Архимеда
Весь набор из тринадцати многогранников был заново открыт в 1619 году Кеплером, который не знал о работе Архимеда. Как Теэтет доказал, что пять платоновых тел — единственные правильные многогранники, так Кеплер доказал, что существует всего тринадцать полуправильных многогранников. Следует отметить, что существует бесконечно много многогранников, называемых призмами и антипризмами, которые удовлетворяют условиям полуправильности, но исторически не считаются полуправильными телами. В настоящее время полуправильные многогранники называются архимедовыми телами.