После упадка греческой цивилизации центр математической жизни переместился в Персию (современный Ирак[5]). Под покровительством монарха арабские математики перевели многие классические греческие трактаты, в т. ч. работы Евклида, Архимеда, Аполлония, Диофанта, Паппа и Птолемея. Но они были больше, чем хранителями греческих текстов. Они создали алгебру и внесли большой вклад в теорию чисел, системы счисления и тригонометрию. Арабский период доминирования в математике продолжался приблизительно до XV столетия.
Арабские математики развили геометрию, но практически ничего не добавили к теории многогранников. Математике пришлось ждать, когда Европа выйдет из периода Средневековья, — лишь тогда интерес к многогранникам пробудился с новой силой.
Приложения к главе
38. Russell (1967), 37–38.
39. Quoted in Bulmer-Thomas (1976).
40. Там же.
41. van der Waerden (1954), 173.
42. Euler (1862).
43. Cauchy (1813a).
44. Connelly (1977).
45. Quoted in Bulmer-Thomas (1967), 195.
Глава 6
Кеплер и его многогранная Вселенная
Иоганн Кеплер — одна из выдающихся переломных фигур в истории науки: его ум был наполовину поглощен средневековыми фантазиями, но другая половина вынашивала начатки математической науки, сформировавшей современный мир.
Пока арабы развивали математику, Европа погрузилась во мрак Средневековья. Лишь очень немногие европейцы получали формальное образование; великие работы классической античности были почти забыты; ученых-математиков почти не было. В монастырях обучали лишь простейшим основам геометрии и арифметики. В течение 400 лет корпус математических знаний не пополнился ничем сколько-нибудь значительным.
И только с приходом европейского Возрождения в XV веке в математике стало заметно оживление. С подъемом гуманистического движения снова возник интерес к греческим классикам — сначала к греческой литературе, а затем и к математике. Романтика греческой интеллектуальной жизни прекрасно изображена на фреске Рафаэля «Афинская школа» (1510–1511), где показано воображаемое собрание Пифагора, Евклида, Сократа, Аристотеля, Платона и других греческих ученых (рис. 6.1).
Важной особенностью искусства эпохи Возрождения была перспектива. Многогранники и их остовы стали отличными объектами для демонстрации мастерства владения перспективой. Такие художники, как Пьеро делла Франческа, Альбрехт Дюрер и Даниэле Барбаро, внесли вклад как в математику, так и в искусство своими сочинениями о перспективе на примере многогранников. Среди множества художников, запечатлевших многогранники на своих картинах (см. рис. 6.2 и 6.3), были Леонардо да Винчи, который иллюстрировал книгу Лука Пачоли «Божественная пропорция» (1509); Венцель Ямницер, создавший тонкие, изысканные гравюры реальных и воображаемых многогранников; Якопо де Барбари, написавший портрет Луки Пачоли с многогранником; Паоло Уччелло, который включал многогранники в свои картины и мозаики на полу собора Святого Марка в Венеции; Фра Джованни да Верона, создавший восхитительные интарсии (мозаики из дерева), и, как мы видим (рис. 6.5–6.8), Иоганн Кеплер, физик и математик.
Рис. 6.1. Рафаэль, «Афинская школа»
Подобно ученым и художникам Возрождения, жившим за двести лет до него, Кеплер был очарован многогранниками. В наши дни мы знаем Кеплера в основном как астронома, прославившегося законами движения планет (которые описывают эллиптическое движение планет вокруг Солнца), но это далеко не единственный его вклад в науку и математику. Его идеи бесконечного и бесконечно малого предвосхитили математический анализ. Он опубликовал работу по оптике. Он был одним из первых пользователей логарифмов. И Кеплер внес вклад, как реальный, так и причудливый, в теорию многогранников.
Кеплер родился 27 декабря 1571 г. в маленьком городке Вайль-дер-Штадт, земля Вюртемберг, Священная Римская империя; ныне он находится в Германии. Жизнь его складывалась очень трудно: болезненный ребенок, выросший в неблагополучной семье, подвергался преследованиям на религиозной почве; его первая жена и любимый сын умерли от оспы, мать обвинили в колдовстве, а скончался он в возрасте 58 лет на пути к императору в надежде получить хотя бы часть жалованья. Несмотря на эти трудности, Кеплер был глубоко религиозным человеком. Он собирался стать лютеранским пастором, но в двадцать три года ушел из семинарии ради должности преподавателя математики и астрономии. Религиозные верования были очень важны для него, и, как видно из его сочинений, он часто черпал в них вдохновение для научной работы. Один из биографов Кеплера, Артур Кёстлер, писал: «Это сосуществование мистического и эмпирического, необузданного полета мысли и упорных, терпеливых исследований оставалось… главной особенностью Кеплера с юных лет до старости»47.