Формула Эйлера — идеальный путеводитель, потому что заводит в изумительные помещения, куда редко заглядывают посетители. Идя по ее следам, мы познакомимся с самыми интригующими областями математики — геометрией, комбинаторикой, теорией графов, теорией узлов, дифференциальной геометрией, динамическими системами и топологией. С этими красивейшими предметами типичный студент, даже специализирующийся в математике, может никогда не встретиться.
Кроме того, по пути я буду иметь удовольствие представить читателю некоторых величайших математиков всех времен: Пифагора, Евклида, Кеплера, Декарта, Эйлера, Коши, Гаусса, Римана, Пуанкаре и многих других — все они внесли важный вклад в эту область и в математику в целом.
Никаких формальных предварительных знаний для чтения этой книги не требуется. Математики, изучаемой в средней школе, — алгебры, тригонометрии, геометрии — достаточно, но большая ее часть к обсуждаемой теме не имеет отношения. Книга вполне самостоятельна, а в тех редких случаях, когда это необходимо, я буду напоминать читателю факты из этих математических дисциплин.
Но не впадайте в заблуждение — некоторые излагаемые идеи весьма сложны и абстрактны, представить их наглядно нелегко. Читатель должен быть готов воспринимать логические рассуждения и мыслить абстрактно. Чтение математического текста — совсем не то же самое, что романа. Иногда нужно остановиться и обдумать каждое предложение, еще раз прочитать рассуждение, попытаться придумать другие примеры, внимательно рассмотреть рисунки в тексте, представить картину в целом и заглянуть в предметный указатель, чтобы вспомнить точный смысл термина.
Конечно, не будет никаких домашних заданий и выпускного экзамена в конце книги. Вовсе не стыдно пропустить трудные места. Если в каком-то особенно каверзном рассуждении никак не удается разобраться, переходите к следующей теме. Это не помешает восприятию других частей книги. Можете загнуть уголок страницы и вернуться к ней позже.
Я полагаю, что аудитория этой книги отбирается сама собой. Всякий, кто хочет ее прочесть, сможет это сделать. Эта книга не для всех, но те, кто не в состоянии понять и оценить математику, наверное, не стали бы ей даже интересоваться.
У меня есть одно весьма ценное преимущество — я никогда не писал учебников. Я изо всех сил старался быть честным и строгим в описании математики, но мог позволить себе роскошь опускать докучные детали, которые больше запутывают, чем проясняют. Поэтому я мог вести изложение на более высоком уровне, сосредоточившись на идеях, интуитивном понимании и общей картине. По необходимости я вынужден был ограничиться в этой книге лишь поверхностным обсуждением многих чарующих идей. Если вы захотите узнать больше о рассматриваемых темах или восполнить недостающие детали, то обратитесь к рекомендованной в приложении B литературе.
Хотя эта книга доступна широкой аудитории, я писал ее также для математиков. Местами она пересекается с другими книгами, но я не знаю ни одной, в которой бы содержалась вся изложенная здесь информация. В конце книги приведена обширная библиография, в т. ч. ссылки на многие оригинальные статьи. Это поможет ученым, желающим глубже покопаться в предмете.
Эта книга организована следующим образом. В главах 2, 3, 4, 5 и 6 описывается теория многогранников, существовавшая до Эйлера. В основном речь в них идет о самом знаменитом классе — правильных многогранниках. В главах 7, 9, 10, 12 и 15 представлена формула Эйлера для многогранников и ее обобщения на другие жесткие многогранные тела. Это обсуждение событий, имевших место до середины XIX века. Главы 16, 17, 22 и 23 посвящены топологической интерпретации формулы Эйлера, развитой в конце столетия. Сюда входят обобщения на поверхности и многомерные топологические объекты.
В книге также упоминаются многочисленные приложения формулы Эйлера. В главе 8 описаны ее элементарные применения, в главах 11, 13 и 14 — применения в теории графов. В главах 18, 19, 20 и 21 речь пойдет о поверхностях, их связях с формулой Эйлера, а также о ее применениях к теории узлов, динамическим системам и геометрии.
Надеюсь, что вы испытаете такое же удовольствие от чтения этой книги, какое испытывал я, когда писал ее. Для меня весь этот проект стал гигантской головоломкой — академической «охотой за предметами». Поиск нужных кусочков и соединение их в связную историю было для меня вызовом и источником восторгов. Я люблю свою работу.
Дэйв Ричесон,
колледж Дикинсон,
6 июля 2007
Приложения к главе
1. Quoted in Schechter (1998), 155.