Мы часто употребляем в быту слово угол для обозначения точки, расположенной в его вершине; это неправильное выражение. Было бы понятнее и точнее использовать специальное название — вершины — для обозначения точек в вершинах углов многоугольника или многогранника. Именно в этом смысле следует понимать выражение вершины многогранника, которое мы использовали58.
После того как великий Эйлер сосредоточился на этих трех ключевых признаках — вершинах, ребрах и гранях — и начал выписывать их для различных семейств многогранников, он, вероятно, довольно быстро заметил связь между ними. Можно представить себе удивление Эйлера, когда он открыл, что для любого многогранника имеет место соотношение
V — E + F = 2.
Рис. 7.2. Марка ГДР с изображением Эйлера и его формулы
Конечно же, он был поражен, как этого никто не заметил раньше. Блестящие математики Древней Греции и Возрождения посвятили бесчисленные часы исследованию всех мыслимых аспектов многогранников. Как они могли пройти мимо этого элементарного соотношения?
Простой ответ — легкомысленное замечание, что история математики изобилует очевидными теоремами, которые годами оставались незамеченными. Однако есть и более проницательное соображение — математики прошлого не рассматривали многогранник с этой точки зрения. Предшественников Эйлера интересовали в первую очередь метрические свойства, поэтому они и просмотрели эту фундаментальную взаимозависимость. Им не только не приходило в голову подсчитывать признаки многогранника, они даже не знали, что считать.
Воистину Эйлер — наш общий учитель.
Работа Эйлера по формуле для многогранников отмечена тремя важными документами. Первым было уведомление Гольдбаха о ее открытии в 1750 году. Он писал:
В каждом теле, ограниченном плоскими гранями, сумма числа граней и числа телесных углов на два больше числа ребер, т. е. H + S = A + 259.
Эйлер использовал буквы H, A и S для обозначения числа граней (hedra), ребер (acies) и вершин (angulus solidus). После переименования и переупорядочения членов получаем знакомую формулу:
В это письмо Эйлер включил, без доказательства, еще десять наблюдений, касающихся многогранников. В конце письма он выделил в качестве самых важных приведенную выше формулу для многогранников и еще одну, которую мы обсудим в главе 20. И разочарованно признался, что обе формулы «настолько трудны, что я еще не смог найти им удовлетворительное доказательство»60.
В 1750 и 1751 годах Эйлер написал две статьи о своей формуле для многогранников. Из-за задержек в журнальных публикациях они появились в печатном виде только в 1758 году. В первой статье, «Elementa doctrinae solidorum»61 (Элементы доктрины сплошных тел), он начал изучение стереометрии. На первых тридцати страницах Эйлер делает общие замечания о многогранниках. Затем он приступает к обсуждению связи между числом вершин, ребер и граней. Он доказывает несколько теорем о связи между V, E и F и устанавливает справедливость формулы V — E + F = 2 в нескольких частных случаях. Но доказательства того, что она верна для всех многогранников, он еще не дал. Не видя пока выхода из тупика, он пишет: «Я не смог найти твердого доказательства этой теоремы»62.
В следующем году он опубликовал вторую статью «Demonstratio nonnullarum insignium proprietatum quibus solida hedris planis inclusa sunt praedita»63(Доказательство некоторых важных свойств тел, ограниченных плоскими гранями). В ней он наконец дал доказательство своей формулы для многогранников. Несмотря на то что формула Эйлера — одна из самых известных в математике, его доказательство практически неизвестно нынешним математикам. Тому есть несколько причин. Как мы увидим, доказательство Эйлера не удовлетворяет современным стандартам строгости. Кроме того, после 1751 года было дано много доказательств формулы Эйлера, более простых и прозрачных, чем найденное самим Эйлером. И тем не менее доказательство Эйлера весьма изобретательно, и в нем не используются метрические свойства многогранников. Первое по-настоящему строгое доказательство дал Лежандр в 1794 году, через сорок лет после Эйлера64. В этом удивительном доказательстве, которое мы приведем в главе 10, Лежандр воспользовался геометрическими свойствами сферы.