Предположим, что одна из граней, сходящихся в O, не треугольная (например, закрашенная грань на рис. 7.5). Тогда при отрезании пирамиды, одна из граней которой лежит в плоскости этой грани, эта грань не убирается из многогранника полностью. Кроме того, добавляется новое ребро там, где эта грань разрезана на две части. Таким образом, число граней и ребер в новом многограннике на единицу больше, чем предполагалось ранее. В этом примере мы начали с многогранника, имеющего 12 граней и 23 ребра. После отрезания пирамид получается многогранник с 12 — 2 + 1 = 11 гранями и 23 — 3 + 1 = 21 ребром. В общем случае, если исходный многогранник имеет s нетреугольных граней, сходящихся в O, то количество граней и ребер будет на s больше, чем ожидалось. Поэтому число граней равно F — 2 + s, а число ребер равно E — 3 + s.
С другой стороны, предположим, что две из новых треугольных граней расположены рядом и лежат в одной плоскости (например, закрашенные грани на рис. 7.6). Тогда они привнесут в результирующий многогранник не две разные грани, а одну четырехугольную грань. Таким образом, получится на одну грань меньше, чем предполагалось. Поскольку между этими гранями нет ребра, ребер тоже будет на одно меньше. В примере на рис. 7.6 мы начали с многогранника, имеющего 11 граней и 20 ребер. После отрезания пирамид стало 11 — 2–1 = 8 граней и 20 — 3–1 = 16 ребер. если такое происходит t раз, то граней и ребер будет на t меньше, чем ожидалось. Поэтому в результирующем многограннике число граней будет равно F — 2 + s — t, а число ребер — E — 3 + s — t.
Рис. 7.5. Нетреугольная грань привносит одну новую грань и одно новое ребро в новый многогранник
Рис. 7.6. Две компланарные грани уменьшают число граней и ребер на 1
Эти сложные на вид формулы описывают число граней и ребер после удаления одной вершины. Сама мысль о том, чтобы следить за этими числами после удаления нескольких вершин, приводит в ужас. Однако важное наблюдение, сделанное Эйлером, избавляет нас от этой необходимости. если взять разность между числом ребер и граней нового многогранника, то получим
(E — 3 + s — t) — (F — 2 + s — t) = E — F — 1.
Иными словами, разность между числом ребер и числом граней ровно на единицу меньше той, что была до удаления вершины. После удаления n вершин разность между числом ребер и числом граней будет равна E — F — n.
Теперь мы можем закончить доказательство Эйлера. Мы начали с многогранника, имеющего V вершин, E ребер и F граней. Предположим, что мы удаляем вершины по одной, всего n штук, пока не останется четыре вершины. Тогда V — n = 4, или n = V — 4. единственный многогранник с четырьмя вершинами — треугольная пирамида (у которой четыре грани и шесть ребер). Для треугольной пирамиды разность между числом ребер и числом граней равна 6–4 = 2, но из предыдущего обсуждения мы знаем, что она также равна E — F — n. Таким образом, имеем равенства
E — F — n = 2
и
n = V — 4.
Подставляя второе равенство в первое и изменяя порядок членов, получаем V — E + F = 2, что и требовалось доказать.
В самом начале мы сказали, что доказательство Эйлера не вполне строгое и что он упустил из виду некоторые тонкости. На самом деле мы видим, что Эйлер очень внимательно следил за числом граней и ребер при удалении вершины. Однако к процессу удаления вершин он отнесся легкомысленно и не дал детальных инструкций, как следует отрезать пирамиды. Вместо этого он обошелся несколькими расплывчатыми примерами. Эйлер правильно утверждал, что может существовать несколько способов удалить данную вершину путем отрезания пирамид, но не предупредил, что одни способы декомпозиции приемлемы, а других следует избегать. У читателя создается неверное впечатление, что все способы декомпозиции равнозначны. В действительности некоторые ведут к неприятностям.
Первая подстерегающая нас ловушка заключается в том, что в процессе декомпозиции мы можем случайно получить невыпуклый многогранник. Эйлер привел пример, в котором удаляемая вершина O соседствует с четырьмя вершинами A, B, C, D (см. рис. 7.7). Он писал:
Это можно сделать двумя способами… нужно отрезать две пирамиды: OABC и OACD или OABD и OBCD. И если точки A, B, C, D не лежат в одной плоскости, то получающиеся тела будут иметь разную форму65.
Рис. 7.7. Удаление вершины многогранника (слева) может привести как к выпуклому (в центре), так и к невыпуклому (справа) многограннику
Это правда, но если четыре соседние вершины не компланарны, то один из получающихся многогранников обязательно будет выпуклым, а другой — невыпуклым. Для многогранника на рис. 7.7 отрезание пирамид OABD и OBCD приводит к невыпуклому многограннику.