Эйлер ни разу не упомянул о выпуклости в своей статье. Он неявно предполагал, что все многогранники выпуклые. Если внимательно рассмотреть его алгоритм, то мы увидим, что важно, чтобы многогранник оставался выпуклым после отрезания вершины. Возникновение невыпуклого многогранника может привести к неприятности, потому что техника Эйлера неприменима к удалению вершины, находящейся в точке невыпуклости. Но и это еще не самое страшное.
Как указал математик Анри Лебег (1875–1941), мало того что результирующий многогранник может оказаться невыпуклым, он может вообще не быть многогранником66! На рис. 7.8 показана вершина, в которой сходятся четыре грани. Один из двух способов ее отрезания работает правильно, тогда как другой приводит к фигуре, которая является не многогранником, а объектом, состоящим из двух многогранников, соединенных по одному ребру. Хуже того, этот немногогранник не удовлетворяет формуле Эйлера (V = 6, E = 11, F = 8, так что V — E + F = 3, а не 2). Похоже, этот пример указывает на серьезный дефект в доказательстве Эйлера. На рис. 7.9 показано, что, применяя метод рассечения Эйлера, мы можем получить и другие вырожденные многогранники. Одна декомпозиция дает два многогранника, соединенных в вершине, другая — несвязный многогранник. И в обоих случаях формула Эйлера не выполняется.
Рис. 7.8. Метод Эйлера, примененный к многограннику слева, может дать вырожденный (в центре) или невырожденный (справа) многогранник
Но, как выясняется, доказательство Эйлера можно спасти. Нужно лишь действовать более аккуратно67. Во всех приведенных выше примерах доказательство портил неправильный выбор в процессе декомпозиции, но в каждом случае существовала приемлемая декомпозиция. Можно доказать, что, придерживаясь четкой стратегии, а не делая выбор произвольно, мы всегда сможем удалить вершину так, что результирующий объект гарантированно будет выпуклым многогранником, и тогда доказательство будет спасено. После этих исправлений мы наконец можем утверждать, что формула Эйлера имеет место для всех выпуклых многогранников.
Рис. 7.9. Другие проблемы, свойственные методу Эйлера
С тех пор как Эйлер представил свое доказательство, появилось много других, как правило, более простых. Некоторые из них мы рассмотрим далее в этой книге.
Тонкая проблема выпуклости стала настоящим вызовом для математиков. Последовало несколько десятилетий интересных исследований, поскольку математики хотели точно выяснить, какими свойствами должен обладать многогранник, чтобы для него удовлетворялась формула Эйлера. Мы увидим, что они рассматривали невыпуклые многогранники, многогранники с дырками и другие, еще более патологические примеры. Это направление исследований оказалось чрезвычайно плодотворным.
Много лет потребовалось математикам, чтобы понять важность того, что Эйлеру было очевидно, — что это теорема о размерности и правилах построения математических объектов. Формула Эйлера и ее обобщения стали краеугольным камнем топологии.
Вероятно, Эйлер в полной мере не осознавал важность своей теоремы. Он никогда не возвращался к проблеме классификации многогранников и ничего больше не писал о формуле для многогранников. Он так и не узнал, что это один из самых значительных его вкладов в математику.
Приложения к главе
55. Bell (1987), 16.
56. Juskevic and Winter (1965), 333.
57. Euler (1758b).
58. Legendre (1794).
59. Juskevic and Winter (1965), 333.
60. Там же, 334.
61. Euler (1758b).
62. Там же.
63. Euler (1758a), английский перевод Euler (1758c).
64. Legendre (1794).
65. Euler (1758a), английский перевод Euler (1758c).
66. Lebesgue (1924).
67. Francese and Richeson (2007); Samelson (1996).
Глава 8
Платоновы тела, мячи для гольфа, фуллерены и геодезические купола
Математику интересует только перечисление и сравнение отношений.
Математика изучает не предметы, а лишь отношения между ними.
Все это замечательно, только кому это нужно?» — спросит скептически настроенный студент, источая сарказм. Красота — чудесная вещь, но некоторые считают, что важность теоремы следует измерять ее полезностью. Для чего может пригодиться формула Эйлера?