Рис. 8.2. Мяч для гольфа состоит из 220 шестиугольников и 12 пятиугольников
Во введении мы узнали о семействе шарообразных молекул углерода, называемых фуллеренами. На рис. 8.3 показан бакминстерфуллерен C60, имеющий форму футбольного мяча. Атомы углерода образуют 12 пятиугольных и 20 шестиугольных колец. Ученые умеют создавать фуллерены с другим числом атомов углерода. Например, C540 — массивный фуллерен с 540 атомами. Соответствующий этой молекуле многогранник состоит из 12 пятиугольников и 260 шестиугольников. Вообще, любой фуллерен включает пятиугольные и шестиугольные кольца, причем количество пятиугольников всегда равно 12.
Следующая теорема показывает, что это не случайное совпадение. Будем называть степенью вершины количество сходящихся в ней ребер.
Рис. 8.3. Фуллерены и футбольные мячи включают ровно 12 пятиугольников
Эта теорема доказывается прямым применением формулы Эйлера. Предположим, что имеется такой многогранник с P пятиугольными и H шестиугольными гранями. Поскольку у пятиугольника пять сторон, а у шестиугольника — шесть и поскольку каждое ребро является общей границей двух граней, то число ребер равно E = (5P + 6H)/2. С другой стороны, поскольку степень каждой вершины равна 3, то число вершин равно V = (5P + 6H)/3. Подставляя обе величины в формулу Эйлера, получаем
2 = V — E + F = (5P + 6H)/3 — (5P + 6H)/2 + (P + H).
Умножая обе части на 6, приходим к нужному выводу:
12 = 10P + 12H — 15P — 18H + 6P + 6H = P.
У теоремы о двенадцати пятиугольниках есть двойственная формулировка, получаемая заменой граней на вершины и наоборот. Оставляем ее доказательство читателю.
На рис. 8.4 показан пример такого многогранника, где выделено 7 из 12 вершин степени пять. Многие геодезические купола, например Биосфера в Монреале, сконструированы именно так. Разумеется, геодезические купола в архитектуре обычно не являются полными сферами. Тематический парк Эпкот во Всемирном центре отдыха Уолта Диснея имеет такую конструкцию, но каждая треугольная грань разбита еще на три треугольника.
Эти простые примеры позволяют составить первое впечатление о возможностях формулы Эйлера. В последующих главах мы увидим, какая мощь скрывается за элементарным, на первый взгляд, соотношением.
Рис. 8.4. Геодезический купол с двенадцатью вершинами степени пять
Приложения к главе
68. Bell (1945), 211.
69. Poincare (1913), 44.
Глава 9
Был ли Декарт первым?
И я надеюсь, что потомки будут благодарны мне не только за то, что я здесь разъяснил, но и за то, что мною было добровольно опущено, с целью предоставить им удовольствие самим найти это.
В 1860 году, спустя больше ста лет после того, как Эйлер представил свое доказательство формулы для многогранников, появилось свидетельство того, что Рене Декарт, знаменитый философ, ученый и математик, знал об этом замечательном соотношении в 1630 году, более чем за сто лет до Эйлера. Это свидетельство обнаружилось в считавшейся давно утраченной рукописи. История поистине удивительная, как и спор о том, чье имя должна носить формула для многогранников.
Декарт родился в дворянской, хотя и небогатой, семье в 1596 году во французском городке Лаэ, недалеко от Тура. его мать умерла через несколько дней после родов, а отца, хотя и оказывавшего поддержку своему «маленькому философу», большую часть детства Рене не было дома.
Юный Рене рос болезненным мальчиком, а в зрелости стал настоящим ипохондриком. Он посещал иезуитский колледж Ла Флэш, и один из его учителей разрешал ему оставаться по утрам в постели столько, сколько он захочет, хотя другие дети в это время были на занятиях. Декарт использовал это время для размышлений. Эту привычку он сохранил на всю жизнь, и многие его величайшие идеи вынашивались в спокойные и тихие утренние часы, проведенные в кровати.
Сквозной темой, пронизывавшей всю жизнь Декарта, было стремление к уединению. Как он сам писал, «я желаю лишь умиротворения и покоя»71. Эта потребность не отвлекаться на пустяки нашла отражение в его многочисленных переменах места жительства и безбрачии — они никогда не был женат. Его службе в армии сопутствовали длительные периоды мира, что позволило ему отдаваться глубоким размышлениям. Декарт вовсе не был затворником, но всегда стремился остаться один и предаться научным и философским занятиям. Это желание иллюстрируется его девизом: bene vixit qui bene latuit (хорошо жил тот, кто хорошо спрятался).