Существует старая и интересная задача о том, сколько цветов необходимо для раскрашивания карты таким образом, что любые два области, имеющие общую границу, раскрашены в разные цвета. Возьмите чистую карту США и попробуйте раскрасить ее, используя как можно меньше цветных карандашей. Очень скоро вы обнаружите, что для большей части карты достаточно всего трех карандашей, но, чтобы завершить краску, понадобится четвертый цвет. Например, штат Невада окружен нечетным числом штатов, поэтому для их раскраски нужно три карандаша, но тогда для самой Невады потребуется четвертый карандаш (рис. I.8). При умном подходе можно обойтись без пятого карандаша — четырех цветов достаточно для раскраски всей карты США. Уже давно предполагалось, что любую карту можно раскрасить в четыре цвета или меньше. Эта знаменитая гипотеза, которая никак не поддавалась усилиям математиков, получила название проблемы четырех красок. В главе 14 мы подробно расскажем эту увлекательную историю; в 1976 году она закончилась вызвавшим много споров доказательством, в котором эйлерова характеристика сыграла ключевую роль.
Графит и алмаз — два материала, состоящие только из атомов углерода. В 1985 года трое ученых — Роберт Кёрл, Ричард Смолли и Харольд Крото — шокировали научное сообщество, открыв новый класс молекул, состоящих только из углерода. Они назвали их фуллеренами в честь архитектора Бакминстера Фуллера, изобретателя геодезического купола (рис. I.9). Такое название было выбрано, потому что фуллерены представляют собой большие молекулы в форме многогранников, напоминающих эту конструкцию. За открытие фуллеренов все трое были удостоены Нобелевской премии по химии за 1996 год. В фуллерене каждый атом углерода связан ровно с тремя соседями, так что образуются пятиугольные и шестиугольные кольца атомов. Первоначально Кёрл, Смолли и Крото обнаружили фуллерены, составленные из 60 и 70 атомов углерода, но затем были открыты и другие. Самую красивую молекулу фуллерена, C60, имеющую форму футбольного мяча, она назвали бакминстерфуллереном. Поразительно, что, ничего не зная о химии, а располагая только формулой Эйлера, мы можем утверждать, что некоторые конфигурации атомов углерода не могут встречаться в фуллеренах. Например, фуллерен любого размера должен иметь ровно 12 пятиугольных углеродных колец, хотя количество шестиугольных колец может разниться.
Рис. I.8. Можно ли раскрасить карту США в четыре цвета?
Рис. I.9. Молекула бакминстерфуллерена С60
Тысячи лет люди рисуют красивые и манящие правильные многогранники, гранями которых являются правильные многоугольники (рис. I.10). Греки знали пять таких тел, Платон включил их в свою атомистическую теорию, а Кеплер положил их в основу ранней модели Солнечной системы. Тайна, окружавшая эти пять многогранников, отчасти связана с тем, что их так мало, — больше ни один многогранник не удовлетворяет строгим критериям правильности. Одно из самых элегантных применений формулы Эйлера — очень короткое доказательство этого факта.
Рис. I.10. Пять правильных многогранников
Несмотря на свою важность и красоту, формула Эйлера практически неизвестна широкой публике. Ее нет в стандартном школьном курсе математики. Некоторые старшеклассники знают формулу Эйлера, но большая часть студентов, изучающих математику, встречаются с ней только в колледже.
Математическая слава — странная вещь. Некоторые теоремы хорошо известны, потому что вколочены в головы школьников: теорема Пифагора, формула корней квадратного уравнения, основная теорема математического анализа. Другие результаты оказываются на слуху, поскольку решают знаменитую задачу. Великая теорема Ферма оставалась недоказанной в течение трехсот лет, пока в 1993 году Эндрю Уайлс не удивил мир своим доказательством. Проблема четырех красок была поставлена в 1853 году, а доказана Кеннетом Аппелем и Вольфгангом Хакеном в 1976 году. Знаменитая гипотеза Пуанкаре была выдвинута в 1904 году и вошла в число семи проблем тысячелетия по версии Института математики Клэя, который счел их настолько важными, что математику, решившему любую из них, была обещана награда в размере миллиона долларов. Эта сумма была присуждена Григорию Перельману, предложившему доказательство гипотезы Пуанкаре в 2002 году. Некоторые математические факты хорошо известны в силу своего междисциплинарного характера (последовательность чисел Фибоначчи в природе) или исторической значимости (бесконечность множества простых чисел, иррациональность числа π).