Всегда ли по трем сторонам можно построить треугольник? Вникая в описанное раньше построение, мы поймем, что третья вершина треугольника отыскивается только тогда, когда окружности пересекаются. Если бы на черт. 54 сторона АВ была не в 6 см, а в 15 см, то другие две стороны (7 см и 5 см) давали бы слишком короткие радиусы, чтобы окружности могли пересечься, и тогда треугольник нельзя было бы построить. Вообще, если один отрезок больше, чем сумма двух других, то из таких отрезков нельзя построить треугольника. Это и прямо видно из фигуры всякого треугольника (черт. 44): прямая линия – самая короткая из всех, проведенных между ее концами; поэтому AС меньше, чем АВ + ВС; АВ меньше, чем АС + ВС; ВС меньше, чем АВ + АС. Вообще:
В т р е у г о л ь н и к е к а ж д а я с т о р о н а м е н ь ш е с у м м ы д в у х д р у г и х.
Повторительные вопросы
Постройте треугольник, стороны которого 44 мм, 58 мм и 66 мм. – Какие углы равны в равных треугольниках? – Из всяких ли трех отрезков можно построить треугольник? – Какая зависимость существует между сторонами треугольника?
Применения
9. В городе три завода, взаимно удаленные на 4,8 км, 2,4 км и 3,2 км. Начертите их расположение в масштабе 80 м в 1 мм.
Р е ш е н и е. Строят треугольник со сторонами 6 см, 3 см и 4 см.
10. Возможен ли треугольник со сторонами в 10 см, 20 см и 30 см? 3 см, 4 см и 5 см? 6 см, 6 см и 13 см!
Р е ш е н и е. В первом случае невозможен, так как 10 + 20 не больше 30. Во втором случае возможен. В третьем случае невозможен: 6 + 6 не больше 13.
11. Почему кратчайшее и дальнейшее расстояние от точки до окружности надо считать по прямой, проходящей через центр круга?
Р е ш е н и е. Рассмотрим задачу для точки А (черт. 59), расположенной внутри круга. Покажем, что АВ короче АМ.
Соединив О с М, рассуждаем так: ОA + AMбольше ОМ (почему?); но ОМ = ОВ, значит ОA + AMбольше ОВ. Отняв по ОА от обоих сравниваемых расстояний, мы имеем: АМ больше АВ. Сходным образом можно показать, что дальнейшее расстояние точки А равно АС, т. е. что АС больше, напр., АN. Предлагаем читателю самому это доказать, а также рассмотреть случаи, когда точка лежит вне окружности.
§ 18. Как построить угол, равный данному
Часто нужно бывает начертить («построить») угол, который был бы равен данному углу, причем построение необходимо выполнить без помощи транспортира, а обходясь только циркулем и линейкой. Умея строить треугольник по трем сторонам, мы сможем решить и эту задачу. Пусть на прямой MN(черт. 60 и 61) требуется построить у точки Kугол, равный углу B. Это значит, что надо из точки Kпровести прямую, составляющую с MNугол, равный B.
Для этого отметим на каждой из сторон данного угла по точке, например А и С, и соединим А и С прямой линией. Получим треугольник АВС. Построим теперь на прямой MNэтот треугольник так, чтобы вершина его В находилась в точке К: тогда у этой точки и будет построен угол, равный углу В. Строить же треугольник по трем сторонам ВС, ВА и АС мы умеем: откладываем (черт. 62) от точки К отрезок KL, равный ВС; получим точку L; вокруг K, как около центра, описываем окружность радиусом ВА, а вокруг L – радиусом СА. Точку Р пересечения окружностей соединяем с К и Z, – получим треугольник КPL, равный треугольнику ABC; в нем угол К = уг. В.
Это построение выполняется быстрее и удобнее, если от вершины В отложить р а в н ы е отрезки (одним расстворением циркуля) и, не сдвигая его ножек, описать тем же радиусом окружность около точки К, как около центра.
§ 19. Как разделить угол пополам
Пусть требуется разделить угол А (черт. 63) на две равные части помощью циркуля и линейки, не пользуясь транспортиром. Покажем, как это сделать.
От вершины А на сторонах угла отложим равные отрезки АВ и АС (черт. 64; это делается одним расстворени-ем циркуля). Затем ставим острие циркуля в точки В и С и описываем равными радиусами дуги, пересекающиеся в точке D. Прямая, соединяющая А и Д делит угол А пополам.
Объясним, почему это. Если точку Dсоединим с В и С (черт. 65), то получатся два треугольника ADCи ADB, у которых есть общая сторона AD; сторона АВ равна стороне АС, а ВD равна CD. По трем сторонам треугольники равны, а значит, равны и углы BADи DАС, лежащие против равных сторон ВD и СD. Следовательно, прямая ADделит угол ВАС пополам.
Применения
12. Построить без транспортира угол в 45°. В 22°30’. В 67°30’.
Р е ш е н и е. Разделив прямой угол пополам, получим угол в 45°. Разделив угол в 45° пополам, получим угол в 22°30’. Построив сумму углов 45° + 22°30’, получим угол в 67°30’.
§ 20. Как построить треугольник по двум сторонам и углу между ними
Пусть требуется на местности узнать расстояние между двумя вехами А и В (черт 66), разделенными непроходимым болотом.
Как это сделать?
Мы можем поступить так: в стороне от болота выберем такую точку С, откуда видны обе вехи и возможно измерить расстояния АС и ВС. У г о л С измеряем помощью особого угломерного прибора (называемого а с т р о л я б и е й). По этим данным, т. е. по измеренным сторонам ACи ВС и углу С между ними, построим треугольник ABCгде-нибудь на удобной местности следующим образом. Отмерив по прямой линии одну известную сторону (черт. 67), например АС, строят при ней у точки С угол С; на другой стороне этого угла отмеряют известную сторону ВС. Концы известных сторон, т. е. точки А и В соединяют прямой линией. Получается треугольник, в котором две стороны и угол между ними имеют наперед указанные размеры.
Из способа построения ясно, что по двум сторонам и углу между ними можно построить т о л ь к о о д и н треугольник. поэтому, если две стороны одного треугольника равны двум сторонам другого и углы между этими сторонами одинаковы, то такие треугольники можно друг на друга наложить всеми точками, т. е. у них должны быть равны также третьи стороны и прочие углы. Это значит, что равенство двух сторон треугольников и угла между ними может служить признаком полного равенства этих треугольников. Короче говоря: