В противоположность Кронеккеру, Вейерштрасс уже тогда проявил полное понимание идей своего прежнего ученика. Он заинтересовался уже докладом в семинаре, где тот, еще будучи студентом, располагал рациональные числа в последовательность; точно так же, после недолгой первоначальной озадаченности, он очень быстро оценил сообщенное ему в 1873 году понятие счётности в его общем виде, и сразу воспользовался счётностью алгебраических чисел в одном вопросе, касающемся действительных функций[7]. Далее Кантор по предложению Вейерштрасса впервые применил понятие счетности к анализу (в работе [8]), и обратно, канторова теория объема в [13] побудила Вейерштрасса заняться теорией действительных функций[8].
С работой [11] тесно связана, и в некотором смысле противостоит ей, работа [12], в которой предпринята попытка выяснить значение непрерывности для понятия размерности; идея эта, по существу, возникла из переписки с Дедекиндом. Как известно, теорема об инвариантности размерности, о которой идет речь в этом (недостаточном) доказательстве, была строго обоснована лишь Л. Э. И. Брауэром много десятилетий спустя.
Начало восьмидесятых годов было временем интенсивнейшего творчества Кантора, могучего, переливающегося через все видимые границы развертывания его гениальных идей; но тогда же произошел тяжелый кризис в его жизни, не покинувший его до конца.
Работа [13], опубликованная в шести частях в 1879−84 годах, принадлежит к тем историческим явлениям, когда совершенно новая мысль, открывающая целую эпоху и полностью противоречащая воззрениям прошлого и настоящего, пробивается и кристаллизуется со все возрастающей отчетливостью, лишь постепенно осознаваемая в своей смелости и новизне самим ее творцом. В 1870 году ему впервые является идея трансфинитных чисел; в 1873 году он постигает значение счетности и зияющую пропасть, отделяющую ее от континуума; лишь теперь он решается предложить современникам свои идеи во всей их широте, отдавая себе полный отчет в их возможном воздействии: так, он говорит о «предметах, примыкающих к теории множеств или теснейшим образом с нею связанных, как, например, современная теория функций и, с другой стороны, логика и теория познания». Во всяком случае, часть пятая этой работы [13] , вышедшая также отдельно с предисловием[9], делает ее важным событием не только в математике и философии, но и вообще в истории науки и человеческого мышления; без сомнения, она еще окажется поучительной и ценной с самых разнообразных точек зрения, пока нам недоступных.
Редакция “Mathematische Annalen” снискала высокую заслугу, открыв страницы своего журнала идеям, решительно неприемлемым для математического и философского мира того времени, которым еще предстояло более десятилетия ожесточенно бороться за свое признание.
В серии статей [13] излагается, главным образом, теория точечных множеств[10]; вместе с дополняющими ее работами [14]–[16] она содержит, прежде всего, теорию производных множеств, исследование строения точечных множеств и теорию объема, а также теорию порядковых чисел, в особенности второго класса. Следует упомянуть еще некоторые отдельные места, непосредственно не относящиеся к этим основным темам, но имеющие общее значение: сохранение свойства связности Rn, когда из него удаляется счетное всюду плотное множество, после чего в столь разрывном пространстве оказывается возможным непрерывное движение; признание автора в конце части пятой, что успешное продолжение его исследований невозможно без расширения числового ряда в трансфинитную область, и его убеждение в том, что это расширение, как бы оно ни казалось сначала спорным математическому миру, в конце концов проложит себе путь; осуждение бесконечно малых величин, а также финитистской точки зрения Кронеккера, и дискуссия с финитистски ориентированными философами древности и средних веков до Спинозы, Лейбница и Канта; историко-критический и логико-математический анализ сущности континуума; общий метод вложенных интервалов. В эту последовательность статей вклинивается работа [8] , в которой Кантор, по инициативе Вейерштрасса, использует понятие счетности в своем методе сгущения особенностей.
В безмерном духовном напряжении, связанном с зарождением революционных идей работы [13], в особенности теории трансфинитных чисел, и с утверждением их вопреки сопротивлению современных исследователей, отягчающую роль сыграли две специфических трудности: борьба с проблемой континуума и усиление антагонизма с Кронеккером. О том и другом мы хорошо осведомлены благодаря изданным А. Шенфлисом письмам Кантора к Миттаг-Лефлеру[11] от 1884 года, когда произошел решающий поворот в его жизни.
7
См. письмо Вейерштрасса П. Дю Буа-Реймону от 15 декабря 1874 г. ( Acta. Mathematica, 39, стр. 206, 1924)
9
Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre. Ein mathematisch-phlosophischer Versuch in der Lehre des Unendlichen (Основания общей теории многообразий. Математико-философский опыт учения о бесконечном), Лейпциг, 1883 г.
10
Еще одна, седьмая статья, предусмотренная Кантором, не была осуществлена (что можно объяснить уже его болезнью)
11
А. Шенфлис. Кризис в математическом творчестве Кантора. Acta Mathem., 50, 1–23 (1928). Ср. также Миттаг-Лефлер, ibid., стр. 25 и далее.