Когда в начале 1884 года была завершена основополагающая работа [13], Кантор уже далеко продвинул открытое еще в [10] и подчеркнутое в [11] деление бесконечных множеств на два класca – счетные и эквивалентные линейному континууму; как при этом обнаружилось, ко второму классу относятся, прежде всего, «совершенные множества». С другой стороны, также отправляясь от точечных множеств, он ввел трансфинитные порядковые числа второго числового класса (как символы порядка производных), конструируя их с помощью предельных процессов, подобных построению иррациональных чисел в виде фундаментальных рядов. Таким образом, казалось чрезвычайно вероятным, что второй числовой класс как раз имеет мощность континуума; и в самом деле, в шестой части работы [13] Кантор объявляет, что с помощью своих предыдущих теорем он может это предположение доказать; это должно было увенчать все полученные им результаты. Однако, его настойчивые попытки провести такое доказательство, как в то время, так и позже, летом и осенью 1884 года, с привлечением все новых методов, оказались безуспешными[12]; в ноябре он даже отказывается от своего предположения − построив мнимое доказательство, что континууму вообще не соответствует в качестве мощности никакой алеф − но на следующий же день изменяет это мнение. За повторными безуспешными усилиями следует усталость, уныние, разочарование; осенью 1884 года, после кризиса в состоянии здоровья, о котором пойдет речь дальше, вдруг обнаруживается стремление вообще отойти от математики. Он хочет полностью оставить ее и намеривается даже просить у министерства разрешения перейти в своей преподавательской деятельности от математики к философии[13]. Но прежде всего он отдается в то время, с величайшей энергией и, очевидно, в связи с расстройством здоровья, попыткам доказать, что автором пьес Шекспира был Френсис Бекон[14]. Он и в этом направлении проявил свойственные ему увлеченность и настойчивость, о чем свидетельствуют, между прочим, опубликованные им по этому вопросу сочинения[15]. Как видно из его письма Дедекинду от 28 июля 1899 г., лишь вследствие недостатка времени и денег он в конце концов перестал разрабатывать эту тему, которой в периоды депрессии занимался даже в своих лекциях и семинарах; но живейший интерес к ней он сохранил на всю жизнь. Этим настроением разочарования в математике, и лишь отчасти действительным положением вещей объясняется его высказывание в то время, что он предпринял «утомительное и не особенно благодарное исследование точечных множеств», главным образом, для того, чтобы применить результаты к «естественному учению об организмах», для которого недостаточны применявшиеся до сих по механические принципы и которым он занимается уже в течение четырнадцати лет.
На это решение оставить математику (впрочем, неоднократно нарушенное уже в течение 1885 года чисто математическими исследованиями), вероятно, еще сильнее неудачи с проблемой континуума повлияло разочарование, вызванное у Кантора отношением к его предыдущим трудам в математическом и философском мире. Достигший сорокалетнего возраста исследователь, выступавший в течение более десяти лет со своими новыми идеями перед научной общественностью, естественно, должен был стремиться к признанию его труда коллегами и к научному влиянию на младших из них. Но этого он был почти лишен. Лишь в очень ограниченной мере могла способствовать осуществлению его желаний дружба с Миттаг-Лефлером, длившаяся до конца и настолько прочная, что смогла противостоять известным (отчасти действительным, отчасти же лишь воображаемым) расхождениям во взглядах в 1884−85 годах. Когда Миттаг-Лефлер в 1881 г. приступил к преподаванию во вновь созданном Стокгольмском университете и сразу же основал журнал Acta Mathematica, он не только пригласил Кантора участвовать своими публикациями в новом журнале, но и позаботился перевести на французский язык работы [4], [5], [9], [10] и, что особенно важно, большую часть работы [13] (части 1–5), опубликовав их во 2-м томе Acta. Уже сама по себе эта поддержка со стороны уважаемого ученого, пользовавшегося значительным влиянием ввиду его отношений с Вейерштрассом и с кругом парижских математиков, была в моральном отношении важна для Кантора в то время, когда для него был закрыт «Журнал Крелля» и господствовавшее влияние берлинских (а, по-видимому, и геттингенских) математиков было ему прямо враждебно. Не менее очевидно было и собственно научное воздействие дружбы с Миттаг-Лефлером; кроме начавшихся в 1883 году, в некотором смысле параллельных публикациям Кантора работ Бендиксона и Фрагмена о точечных множествах, в томах Acta. за 1883–84 годы появился целый ряд весомых применений теоретико-множественных понятий и результатов к задачам теории функций и геометрии, авторами которых были как сам Миттаг-Лефлер, так и восходившие тогда светила − Пуанкаре и Шеффер. Кантор не заметил сначала работы Пуанкаре, в которой теория точечных множеств была привлечена к исследованию строения области существования автоморфных функций; но при поездке в Париж весной 1881 г. он имел случай убедиться, что Пуанкаре знает и ценит его работы[16]. Бóльшие надежды возлагал он на влияние статьи Миттаг-Лефлера, которая должна была продемонстрировать силу и значение идей Кантора в области вейерштрассовой теории функций, стоявшей тогда в центре внимания, − в ней изучался вопрос о возможности построения аналитических функций с надлежащим образом заданными особыми точками. Тем глубже было его огорчение, когда обнаружилось, что ссылка на Кантора, напротив, во многом повредила приему, оказанному этой работе, особенно в результате сильного также и в Париже воздействия позиции Кронеккера.
12
Тогда же, летом 1884 г. П. Таннери, предпринял попытку доказать гипотезу Кантора; рассуждения его содержат ошибку. ( Bull. Soc. Math. de France, 12, 90–96, 1884)
13
В действительности Кантор время от времени вел философские семинары, например, занимался Лейбницем, с целью разъяснить свою теорию актуальной бесконечности посредством сравнения с его мыслями. Как он любил говорить при этом, в качестве ординарного профессора философского факультета он имел право читать лекции даже о санскрите
14
В письме Кантора к Миттаг-Лефлеру от 17 декабря 1884 г., где, по-видимому, впервые идет речь об этом предмете, говорится: «Френсис Бекон, он и только он мог быть автором этих шедевров; ибо один и тот же огненный дух встречаем мы, с одной стороны, в этих драмах, а с другой − в “Moral essays” («Опыты о морали») и в других трудах Бекона»
15
Resurrectio Divi Quirini Francisci Baconi Baronis de Verulam Vicecomitis Sancti Albani CCLXX annis post obitum eius IX die apriles anni MDCXXVI. (Pro manuscripto.) Cura et impersis G(eorgii) C(antoris). Halis Saxonum MDCCCXCVI. [Воскресение Френсиса Бекона, барона веруламского, виконта Сент-Албанского, после смерти его 9 апреля 1626 года. (о рукописи). Издано усердием и за счет Г(еорга) К(антора). Галле в Саксонии, 1986(C предисловием на английском языке за подписью: “Dr. phil. George Cantor, Mathematicus” «Д-р философии Георг Кантор, математик».
Confessio fidei Francisci Baconi Baronis de Verulam…cum versione Latina G. Rawley…, nunc denuo typis excusa cura impensis G. C. Halis Saxonum MDCCCXCVI.
(C латинским предисловием за подписью G. C., 5 стр.). Собрание Релея тридцати двух стихотворений в память Френсиса Бекона. Свидетельство в пользу теории Бекона-Шекспира. Издано с предисловием Георга Кантора. Галле, 1897
16
По свидетельству Миттаг-Лефлера (Acta Math.,50, стр. 26, 1928), фундаментальные работы [13] были переведены для Acta на французский язык Пуанкаре