Построим на одном рисунке график данной плотности вероятности (пунктиром) и идеальной волны, подчиняющейся закону косинуса:
Рисунок 4.15 – Плотности вероятности жизни человека и идеальная волна.
Выводы по 4 главе: На основе Пляс интеграла возможно построение функции плотности вероятности. При этом достаточно от десяти моментов наступления аварий, чтобы получить функцию плотности вероятности с точностью 90%. Этот факт является внушительным, так как статистические методы построения плотности вероятности с такой точностью достигают моментов наступления событий около сотни.
5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ПЛЯС РЯДЫ
Прогнозировать поведение функции в дальнейшем методом Пляс рядов и Пляс интеграла возможно также как и для рядов Фурье и интеграла Фурье только при условиях, что период гармонических составляющих функции в несколько раз меньше максимального периода участвующих в преобразовании. Для того, чтобы прогнозировать поведение функции не удовлетворяющих этому условию предлагаются дифференциальные Пляс ряды. При этом должно соблюдаться условие: Гармоники должны иметь период большей, чем 2*π.
Для объяснения данных рядов рассмотрим следующую функцию, формула 5.1:
График данной функции представлен на рисунке 5.1.
Рисунок 5.1. – Исходная функция.
Продифференцируем данную функцию до четвертой производной:
График данной функции представлен на рисунке 5.2.
Рисунок 5.2. – График четвертой производной исходной функции.
Построим на одном рисунке четвертую производную исходной функции (сплошную) и идеальную синусоиду с наименьшим периодом исходной гармоники с периодом 20:
Рисунок 5.3. – Производная исходной функции и идеальная синусоида.
Как видно из рисунка 5.3 – мы выделили дифференцированием гармонику с наименьшим периодом 20.
Теперь более подробно.
Рассмотрим функцию, формула которой представлена на рисунке 5.3.
(5.3)
Продифференцируем данную функцию до первой производной и получим:
(5.4)
Как видно из формулы 5.4, мы получили первую производную с гармоническими сигналами подчиняющихся закону синуса, причем отрицательные значения гармоник.
Вторая производная будет иметь вид:
(5.5)
Третья производная будет иметь вид:
(5.6)
Четвертая производная будет иметь вид:
(5.7)
Как видно из формулы 5.3. и 5.7 четвертая производная отличается от исходной функции только амплитудой соответствующих гармонических составляющих. Причем в числителе появляется множитель 16* . А в знаменателе появляется период в четвертой степени. Очевидно, чем больше период, тем гармоническая составляющая данной гармоники с данным периодом будет меньше. И следовательно если у нас производная кратная 4, то мы можем воспользоваться результирующей формулой:
(5.8)
Если гармонических составляющих больше, то очевидна формула:
(5.9)
Мы можем проанализировать гармонические составляющие сигнала используя формулу 5.9. Для этого дифференцируем сигнал с производной кратностью в четыре. До тех пор пока не получим синусоидальный сигнал. Находим искомую гармонику, умножив на соответствующий коэффициент. Вычитаем из исходного сигнала полученный гармонический сигнал с данным найденным периодом. Дифференцируем опять полученный после вычитания сигнал до меньшего дифференциала, чем в первый раз. И получаем другую гармоническую составляющую. Так производим, пока не получим все гармонические сигнала. Для наглядности рассмотрим пример, в котором определяются 3 гармонические составляющие.
Пусть искомый сигнал подчиняется следующей функции:
(5.10)
График данной функции представлен на рисунке 5.4.
Рисунок 5.4. – График исходной функции.
Продифференцируем до 8 производной входной сигнал. Это можно сделать используя свойство производной, а именно производная равна делению приращения функции к приращению аргумента.
Рисунок 5.5. – Восьмая производная исходного сигнала.
Полученный сигнал имеет период 15, также как и минимальный период входного сигнала. Найдем амплитуду полученного сигнала:
Используя формулу 5.11, вытекающую из формулы 5.9:
(5.11)
Мы определили, что гармоника с минимальным периодом имеет следующий вид:
(5.12)
Отнимем от исходного сигнала найденную гармонику:
(5.13.)
Получим следующий график функции:
Рисунок 5.6. – График функции J1(t).
Продифференцируем до четвертой производной функцию J1(t). И получим следующий график:
Рисунок 5.7. – График функции четвертой производной от функции J1(t).
Как видим из графика функция синусоидальна. Имеет период 80 и амплитуду
Используя формулу 5.14 получим амплитуду второй гармоники с периодом 80.
(5.14)
Мы определили, что вторая гармоника имеет вид:
(5.15)
От исходной функции отнимем первую и вторую гармонику:
(5.16)
График данной функции представлен на рисунке 5.8.
Рисунок 5.8. – График функции J2(t).
Как видно из рисунка 5.8, мы получили синусоиду, а именно третью гармонику исходного сигнала с периодом 130 и амплитудой
(5.17)
Итак запишем найденную функцию:
(5.18)
Построим график данной функции:
Рисунок 5.9. – График полученной функции.
Построим на одном графике исходную(пунктирную) и полученную функцию (сплошную):