Математический редактор Mathcad 14 или более позднюю серию Mathcad можно загрузить с интернета бесплатно, или купить на диске DVD.
Если вам известен математический редактор Mathcad, то можете пропустить данный подпункт.
Зайдите в программу Mathcad и откройте полученный от меня файл (Волна1) из папки Расчеты Mathcad. Вы увидите следующее диалоговое окно №1:
введите период волны
введите начальную фазу
Вы можете менять период волны «Т» и начальную фазу «φ0» и в результате синхронно будет меняться график функции J(t) приведенный на данном диалоговом окне. Также можно менять на графике пределы времени по оси абсцисс, для этого наведите курсором на график, щелкните по нему мышкой. Появятся внизу графика пределы по оси абсцисс, можете поменять их значения и график отобразится с новыми значениями после того, как вы нажмете ввод, или переместите курсор в другое место. Допустим вы ввели новое значение начальной фазы «φ0=π (радиан)» и ввели значения пределов по времени от 0 до 160. Тогда в данном диалоговом окне вы увидите следующее:
введите период волны
введите начальную фазу
Диалоговое окно №2
Вы также можете писать математические формулы как в тетради на уроке математики и сразу же после того как задались математической формулой, посмотреть график данной функции, или написав функцию посмотреть, чему она равна для данной координаты (например J(100)=) и вы сразу же получите результат. Также в Mathcad активированы функции копировать и вставить для формул и всех других надписей. Для этого нужно воспользоваться правой кнопкой мышки.
1.2. Период волны
Периодом волны «Т» называется расстояния от двух ближайших максимумов волны. В нашем случае период измеряется в годах . При периоде Т=67 лет и начальной фазе φ0=0 радиан волна будет иметь следующий вид:
Рисунок 2. – Волна с периодом Т= 67 лет.
1.3. Начальная фаза волны
Начальная фаза φ0 измеряется в радианах. И может принимать любые значения. Чтобы понять ее физический смысл, давайте рассмотрим две волны с одинаковым периодом Т=67 лет, но с различными фазами: для первой волны φ0=0 радиан, для второй волны φ02=π/2 радиан
График данных функций представлен на рисунке 3.
Рисунок 3. – Две волны.
На рисунке 3 приняты следующие обозначения: J(t) – первая волна с начальной фазой φ0=0 радиан, и J2(t) – вторая волна с начальной фазой φ02=π/2 радиан. Максимум второй волны ( в точке с абсциссой -16,75 лет) находится левее максимума первой волны (точка с абсциссой 0 лет). Поэтому максимум второй волны при течении времени t происходит раньше, чем наступает максимум первой волны. В данном случае говорят, что волна номер два, опережает волну номер один на φ02=π/2 радиан. Если мы воспользуемся формулой номер 3, то мы от начальной фазы φ02, перейдем ко времени, соответствующей данной начальной фазе:
t2=16,75 лет.
На рисунке 3 обозначено стрелкой время, равное 16,75 лет, соответствующее начальной фазе φ02.
Теперь рассмотрим случай, когда начальная фаза отрицательна, φ02=-π/2 радиан. Войдите в Mathcad, откройте файл «Волна2». Вы увидите следующее диалоговое окно:
введите период волны
введите начальную фазу
первой волны
введите начальную фазу
второй волны
вторая волна
первая волна
Диалоговое окно №3
Как видите из данного окна, что максимум волны №2 (функция J2(t)) находится правее максимума волны №1 (функция J(t)). При течении времени максимум первой волны наступает при значении времени 0, а максимум второй волны наступает позже, поэтому говорят, что волна №2 отстает по времени на π/2 радиан. Поупражняйтесь с файлом «Волна 2»; попробуйте менять начальную фазу и угол. И понаблюдайте, как ведут себя волны.
1.4. Периодичность волны
Периодичность волны проявляется в том, что при равных периодах двух волн и различных начальных фазах, волны являются равными, это происходит в том случае, если разница начальных фаз первой и второй волны кратна 2π разам. То есть удовлетворяет формуле 4:
где n – целое число
Зайдите в Mathcad и откройте файл «Волна 3». Вы увидите следующее диалоговое окно:
введите период волны
введите начальную фазу
первой волны
введите начальную фазу
второй волны
вторая волна
первая волна
Диалоговое окно №4
Как видно из диалогового окна №4 две волны являются равными. Попробуйте в файле «Волна 3» изменять начальную фазу φ02. Приравняйте её к 4π или 6π и убедитесь, что вид второй волны J2(t) не изменяется.
1.5. Составление математической функции волны по известному периоду и моменту времени при котором происходит максимум
Допустим, существует следующая волна, рисунок 4. Для данной волны нам необходимо написать математическую формулу. Период данной функции, как видно из графика составляет 40 лет. Момент времени соответствующий максимуму составляет tm= 10 лет. Для формулы 1, которая как вы знаете имеет вид:
Период Т уже известен, он равен 40 годам. Осталось найти φ0.
Рисунок 4. – Волна
Чтобы найти начальную фазу для волны необходимо воспользоваться формулой 5:
Итак получили формулу, описывающую волну представленную на рисунке 4:
График данной функции представлен на рисунке 5:
Рисунок 5. – График функции волны, полученный по формуле 6.