Общее число интервалов m. Каждый интервал времени ∆t бесконечно малый и является интервалом дискретизации для преобразования Фурье.
При стремлении количества событий к бесконечности Пляс ряды автоматически трансформируются в ряды Фурье, которые уже доказаны.
Формулы данных рядов – формулы 1,2.
(1)
(2)
Где v – номер гармоники, f- опорная частота дискретизации, m - число интервалов дискретизации, t – текущее время. Fx(v) – синусная составляющая прямого преобразования Фурье и Пляс рядов, Fу(v) – косинусная составляющая прямого преобразования Фурье и Пляс рядов, Aq – для рядов Фурье – значение функции, а для Пляс рядов количество событий. В формуле 1 и 2 f – частота. А в Пляс рядах T- период.
Как известно из математики f=1/T. Поэтому с математической точки зрения все верно в доказательстве Пляс рядов.
Выше приведенное преобразование есть Пляс преобразованием и работает даже в тех случаях, когда не все интервалы времени заполнены событиями, каждому событию для Пляс радов приписывается единица (если в момент времени t случилось одно событие, то Aq=1).
.1. Проверим на примере роботу прямого и обратного Пляс преобразования.
Пусть есть функция состояния случайного процесса
(3)
График данной функции представлен на рисунке 2.
Рисунок 2. – Функция состояния случайного процесса.
Где функция позитивное событие позитивное, где функция негативна, событие противоположно, то есть негативное значение для прямого Пляс преобразования.
На основании данной функции можно составить поток событий (аналогично тому как по плотности вероятности получают поток случайных событий). Где функция больше по модулю, для этих интервалов происходит больше событий.
Позитивный поток событий:
Негативный поток событий:
Поскольку данная функция состояния периодическая (период 40), то можно продолжить поток событий и довести количество событий как позитивных, так и негативных до 90(для увеличения точности расчета).
Таблица 1. - Позитивный поток событий:
Таблица 2. - Негативный поток событий:
Прямое Пляс преобразование для косинусных составляющих:
(3.4)
Для синусных составляющих:
(3.5)
Амплитудно периодическая функция вычисляется по формуле
(3.6)
График амплитудно - периодической функции:
Рисунок 3. – Амплитудно – периодическая функция
Как видно из графика, мы отыскали искомую гармонику (с периодом 20 и 40).
Используя обратное Пляс преобразование по формуле:
(3.7)
Получим искомую функцию:
Рисунок 4. – Полученная функция состояния.
Построим на одном графике исходную функцию состояния и полученную с помощью Пляс преобразования:
Рисунок 5. – Искомая и заданная функция
Пунктиром заданная функция, сплошным искомая функция. Как видно из графика функции практически идентичные. 100 % точность не достигается из за того что высокая погрешность при нахождении потока событий 10 первых позитивных и 10 первых негативных событий.
4. ПЛЯС ИНТЕГРАЛ
Пляс интеграл аналогичен Пляс рядам, только учитывается весь спектр гармоник, аналогично тому, что в Интеграле Фурье учитываются все гармоники.
Зададимся следующей функцией плотности вероятности:
(4.1)
где А – функция плотности вероятности, t – текущее время.
График данной функции представлен на рисунке 4.1.
График 4.1. – Функция плотности вероятности.
На основании данной плотности вероятности возможно составить поток событий. Поток событий следующий:
Воспользовавшись формулой 4.2, получим косинусные составляющие случайного процесса для прямого Пляс преобразования:
(4.2)
Рисунок 4.2. – Косинусные составляющие случайного процесса
Воспользовавшись формулой 4.3, получим синусные составляющие случайного процесса для прямого Пляс преобразования:
(4.3)
Рисунок 4.3. – Синусные составляющие случайного процесса.
Воспользовавшись формулой 4.4, получим модуль закономерности в зависимости от периода исследуемой гармоники:
(4.4)
Рисунок 4.4. – Модуль закономерности случайного процесса.
Учитывая все гармоники от Tn=50 до Tk=83 по формуле 4.2:
(4.5)
Формула 4.5 является обратным преобразованием Пляс интеграла.
График данной функции представлен на рисунке 4.5.
Рисунок 4.5. – полученная плотность вероятности случайного процесса.
Построим графики полученной плотности вероятности и исходной плотности вероятности, рисунок 4.6:
Рисунок 4.6. – Графики исходной и полученной плотности вероятности.
Пунктиром полученная плотность вероятности, сплошным исходная плотность вероятности.
4.1. Построение плотности вероятности методом Пляс интеграла.
Рассмотрим как ведет себя график функции плотности вероятности процесса наступления первой аварии от планово – предупредительного ремонта. В таблице 4.1 представлены данные наступления первой аварии от планово – предупредительного ремонта.
Таблица 4.1. – Моменты наступления первых аварий от времени начала планово – предупредительного ремонта.
Номер аварии
Интервал времени между планово – предупредительным ремонтом и первой аварией
1
2998
2
462
3
179
4
32
5
246
6
352
7
2691
8
443
9
630
10
905
11
585
12
344