41
О работах Л. С. Понтрягина в области дифференциальных игр см. работу: Никольский С. М. О работе Понтрягина в области линейных дифференциальных игр преследования. — В кн.: Никольский С. М. Первый прямой метод Понтрягина в дифференциальных играх. — М.: МГУ, 1984.
(обратно)42
Принцип максимума Понтрягина получил широчайшее применение в технике. В качестве примера, приведём здесь справку, выданную ЦАГИ Л. С. Понтрягину.
Применение принципа максимума и теории дифференциальных игр в современной механике полёта
Принцип максимума и теория дифференциальных игр Л. С. Понтрягина нашли широкое и важное применение в следующих работах, проведённых в ЦАГИ.
1. Исследование и выбор оптимальных траекторий, оптимальных параметров и разработка методов оптимизации характеристик летательных аппаратов (ЛА) различного назначения:
⚫ оптимальное пространственное выведение;
⚫ оптимальное выведение на орбиту искусственных спутников Земли, Луны и планет;
⚫ оптимальное маневрирование ЛА, в том числе их стыковка;
⚫ стабилизация и оптимальное управление ориентацией ЛА;
⚫ оптимальные межпланетные перелёты, в том числе с двигателями малой тяги.
2. Решение задач динамики полёта и управления входом в атмосферу:
⚫ исследование возможности полёта ЛА со скоростями входа, превышающими вторую космическую (обеспечение коридора входа, выдерживание ограничений по перегрузке, тепловым и температурным режимам);
⚫ оптимальное выведение на орбиту искусственного спутника планеты (в том числе Марса) с использованием аэродинамического торможения в атмосфере;
⚫ оптимальное управление боковой дальностью
⚫ построение зон достижимости и оптимальное пространственное движение в заданную точку земной поверхности.
3. Исследование оптимальных траекторий и оптимальных режимов полёта самолёта:
⚫ построение оптимальных траекторий и режимов набора высоты, в том числе для рекордных полётов по высоте и скороподъёмности;
⚫ исследование оптимальных пространственных траекторий высокоманёвренных самолётов;
⚫ исследование оптимальных взлётно-посадочных режимов, в том числе с минимизацией шума, создаваемого самолётом на местности.
4. Разработка методов исследования игровых задач механики полёта самолётов:
⚫ игровые задачи преследования–уклонения;
⚫ задачи управления в условиях неполной информации;
⚫ задачи идентификации и наблюдения в механике полёта на основе минимаксных критериев точности.
Кроме того, идеи принципа максимума проникли в ряд нетрадиционных областей управления и стимулировали развитие следующих научно-технических направлений:
⚫ численные методы оптимизации (методы поиска экстремума функции многих переменных на основе различной информации о функции);
⚫ методы аппроксимации, интерполяции и сглаживания функции и их приложения к задачам аналитического описания геометрии внешних форм летательных аппаратов, автоматизация изготовления аэродинамических моделей на станках с ЧПУ (числовым программным управлением) и др. актуальным и перспективным задачам разработки систем автоматизации проектирования летательных аппаратов (САПР ЛА);
⚫ разработка методов построения законов и систем управления, позволяющих реализовать преимущества оптимальных режимов и оптимальных траекторий;
⚫ методы оптимального управления аэродинамическими трубами и др. Многие из рассмотренных выше вопросов входят в программы спецкурсов, читаемых на кафедре механики полёта в МФТИ.
Заместитель начальника ЦАГИ, член-корреспондент АН СССР Г. С. Бюшгенс
(обратно)43
Книга В. Г. Болтянского, Р. В. Гамкрелидзе, Е. Ф. Мищенко и Л. С. Понтрягина «Математическая теория оптимальных процессов» была опубликована в 1961 г., переиздавалась в 1969, 1976 и 1983 гг. Переведена на ряд иностранных языков.
В 1989 г. (М.: Наука) вышла книга Л. С. Понтрягина «Применение принципа максимума в оптимальном управлении», содержащая основные результаты коллективной монографии. Переиздана в 1998 г. (Принцип максимума. М.: Фонд математического образования и просвещения).
(обратно)44
Первое издание книги Болтянский В. Г. «Математические методы оптимального управления» было опубликовано в 1966 г., второе — в 1969 г.
(обратно)45
См. работу «Оптимальные процессы регулирования» (УМН, 1959, т. 14, № 1, с. 3–20).
(обратно)