Если группа гомологий рассматривается по простому модулю p, то число её независимых элементов по модулю p называют числом Бетти по модулю p. Для непростого модуля m число Бетти определить невозможно. В теореме двойственности Александера речь идёт о числе Бетти по mod 2. Она формулируется следующим образом.
Пусть K — комплекс, криволинейно, но без самопересечений, расположенный в n-мерном евклидовом пространстве Rn. Тогда число Бетти P2r(Rn\K) no mod 2 размерности r пространства Rn\K равно числу Бетти P2n — r–1(K) по mod 2 размерности n — r–1 комплекса K.
В частном случае, когда K есть комплекс, гомеоморфный окружности, a Rn есть плоскость R2, r=0, теорема двойственности Александера превращается в теорему Жордана.
Доказательство теоремы двойственности Александера опирается на большое количество тонких геометрических конструкций. Появление её в 20-х годах было большим событием в области топологии.
Примерно в то же самое время, когда я познакомился с теоремой двойственности Александера, я познакомился также и с понятием коэффициента зацепления Брауэра.
Коэффициент зацепления был определён Брауэром для двух замкнутых ориентированных, т. е. определённым образом направленных замкнутых кривых, расположенных в трёхмерном пространстве R3 без взаимопересечения. Он определялся или как интеграл и тогда имел вполне определённый электротехнический смысл, или геометрически как алгебраическое число точек пересечения плёнки, натянутой на одну из замкнутых кривых, с другой замкнутой кривой. Коэффициент зацепления легко определяется для двух не пересекающихся между собой циклов размерности r и n — r–1, расположенных в евклидовом пространстве Rn. Он есть целое число, если циклы берутся с целочисленными коэффициентами, и вычет по mod m, если циклы берутся по mod m.
В своей первой опубликованной работе я усилил теорему двойственности Александера и придал ей новый смысл, использовав коэффициенты зацепления. Мой результат можно формулировать следующим образом:
Пусть K — комплекс, криволинейно, но без самопересечений, расположенный в евклидовом пространстве Rn размерности n. Если zr — произвольный r-мерный, отличный от нуля класс гомологий пространства Rn\K, то в комплексе K найдётся такой класс гомологий zn — r–1 размерности n — r–1, что коэффициент зацепления между классами zr и zn — r–1 отличен от нуля. Аналогично, если zn — r–1 — некоторый отличный от нуля класс гомологий комплекса K, то в пространстве Rn\K найдется класс гомологий zr размерности r, коэффициент зацепления которого с классом zn — r–1 отличен от нуля. Всё делается по mod 2.
Эта моя теорема устанавливала алгебраическую связь между группой гомологий H2r(Rn\K) пространства Rn\K и группой гомологий HΓr(K) комплекса K, которую я стал называть двойственностью. Из двойственности групп вытекал непосредственно и их изоморфизм, а следовательно, и теорема двойственности Александера. Хотя из двойственности групп и вытекает их изоморфизм, но изоморфизм этот не является единственным естественно определённым изоморфизмом. Таким образом, двойственность есть нечто другое, чем изоморфизм. Такую же двойственность легко установить между группами по mod m. Из неё также вытекает изоморфизм, однако этот изоморфизм не является естественно определённым и единственным. Таким образом, мой результат придал теореме двойственности Александера новый алгебраический смысл.
Значение моего результата заключалось также и в том, что вместо чисто негативного понятия негомологичности цикла нулю выступало новое позитивное понятие зацеплённости цикла с другим. Этот позитивный характер результата делает его эффективным средством исследований. Следует отметить, что при доказательстве своего результата я использовал все геометрические конструкции Александера.