Во второй своей работе я рассматривал комплекс K, криволинейно, но без самопересечений, расположенный в n-мерном многообразии Mn, а не в евклидовом пространстве Rn. Задача ставилась прежняя: изучить группы гомологий пространства Mn\K.
Вложение комплекса K в многообразие Mn влечёт за собой гомоморфизм группы гомологий комплекса K в группу гомологий многообразия Мn. Ядро этого гомоморфизма размерности n — r–1 обозначим через Ĥ2n — r–1(Mn\K). Точно так же включение области Mn\K в Mn влечёт гомоморфизм группы гомологий Mn\K в группу многообразия Mn. Ядро этого гомоморфизма мы обозначим через Ĥ2r(Mn\K).
Во второй моей опубликованной работе устанавливалась двойственность между группами Ĥ2n — r–1(Mn\K) и Ĥ2r(Mn\K), осуществляемая при помощи коэффициентов зацепления. Делается это по mod 2. Кроме того, было установлено, при каких условиях класс гомологий многообразия Mn содержит цикл, не пересекающийся с K. Оказалось, что такими являются те классы гомологий, индексы пересечения которых с любыми циклами комплекса K дополнительной размерности равны нулю. Это было сделано по mod 2. Два этих результата давали достаточно полную информацию о числах Бетти по mod 2 многообразия Mn\K. Во второй своей работе я вновь использовал тонкие геометрические конструкции Александера.
В дипломной работе мной была сильно усовершенствована вторая работа как в алгебраическом, так и в геометрическом отношениях. В ней я обошёл геометрические трудности, рассматривая лишь прямолинейные комплексы, составленные из подразделений первоначальной триангуляции многообразия Mn, и для установления двойственности использовал барицентрические звёзды этих подразделений, как это делал Пуанкаре, отчего произошло сильное геометрическое упрощение. Переход к криволинейному комплексу осуществлялся путём аппроксимации его прямолинейными комплексами. Алгебраической основой исследования являлась двойственность между цепями, составленными из симплексов, и цепями, составленными из барицентрических звёзд. Всё делалось с целочисленными коэффициентами и по произвольному mod m. Вторая часть моего результата приобрела самостоятельное существование и стала называться теоремой о снятии цикла. В ней утверждалось, что для цикла многообразия Mn, индекс пересечения которого с каждым циклом из комплекса K равен нулю, существует гомологичный ему цикл, расположенный вне K. Теорема о снятии цикла позволила, в частности, дать оценку тонкого гомотопического инварианта категории многообразия Mn, введённого Люстерником и Шнирельманом для оценки числа замкнутых траекторий на многообразии гомеоморфном сфере. Определение категории многообразия, данное Люстерником и Шнирельманом, носило сугубо негативный характер, и потому вычисление её было очень затруднительным. Оценка её снизу при помощи теоремы о снятии цикла давала эффективную возможность находить категорию многообразия.
Для того чтобы рассказать о следующей своей существенной работе, связанной с теоремой двойственности Александера, остановлюсь на структуре группы Hr(K) комплекса K, построенной при помощи целых коэффициентов. Возьмём в этой группе подгруппу Hr(K), составленную из элементов конечного порядка. Тогда группа Hr(K) распадается в прямую сумму некоторой группы Lr(K) и группы Hr(K). Группа Lr(K) представляет собой прямую сумму конечного числа свободных циклических групп. Число их и есть число Бетти, определённое Пуанкаре. Числовые инварианты группы Hr(K) были названы Пуанкаре коэффициентами кручения.