В моей дипломной работе было установлено, в частности, что если комплекс K расположен в евклидовом пространстве Rn, то группы Ln — r–1(K) и Lr(Rn\K) двойственны между собой посредством коэффициентов зацепления, являющихся целыми числами, но группа Hr(Rn\K) двойственна группе Hn — r–2(K). Таким образом прямые слагаемые Lr(Rn\K) и Hr(Rn\K) однозначно определены комплексом K и не зависят от его расположения в пространстве Rn. В то время как я занимался этими вопросами, уже была определена группа гомологий произвольного компактного метрического пространства F по любому полю коэффициентов, так же как по целочисленному полю коэффициентов. Мне показалось, что для завершения проблемы двойственности необходимо установить, что если компактное множество F расположено в евклидовом пространстве Rn, то целочисленная группа гомологий его дополнения Rn\F есть инвариант самого множества F, а не зависит от его расположения в Rn. Трудность заключалась в том, что группа Hr(Rn\F) уже не была группой с конечным числом образующих и не распадалась в прямую сумму свободной группы и группы кручений, а потому не могла быть вычислена таким же образом, как это было сделано с комплексом. Я решил эту задачу, совершив очень нетривиальное действие, приняв за коэффициенты преобразований групп гомологий компактного множества F не целые числа, не вычеты по mod m, а совершенно новую группу K. Определение её следующее:
K есть фактор-группа аддитивной группы действительных чисел по подгруппе целых чисел. Таким образом, K представляет собой аддитивную запись группы вращения окружности и является топологической группой. Приняв за коэффициенты при построении группы гомологий компактному множеству F элементы группы K, я получил саму группу гомологий HKr(F) в виде компактной коммутативной топологической группы. Результат был следующим:
Пусть F — компактное подмножество n-мерного евклидова пространства Rn. HKn — r–1(F) — группа гомологий размерности n — r–1 компакта F, построенная при помощи коэффициентов из группы K. Через Hr(Rn\F) обозначим r-мерную группу гомологий пространства Rn\F, построенную при помощи целочисленных коэффициентов. Тогда группы HKn — r–1(F) и Hr(Rn\F) двойственны между собой, причём двойственность определяется коэффициентами зацепления, которые являются элементами группы K. Таким образом, каждый элемент группы Hr(Rn\F) является гомоморфизмом группы HKn — r–1(F) в группу K, т. е. характером группы HKn — r–1(F). Точно так же каждый элемент группы HKn — r–1(F) является гомоморфизмом группы Hr(Rn\F) в группу K. Таким образом, я показал, что каждая из двух рассматриваемых групп, находящихся в соотношении двойственности, является группой характеров для другой. Этот результат представляет собой очень интересный алгебраический факт, который привёл меня к постановке нового вопроса. Является ли каждая компактная коммутативная группа группой характеров некоторой дискретной коммутативной группы[61]?
61
Pontrjagin L. S. The theory of topological commutative groups. — Ann. Math., 1934, vol. 35, № 2, p. 361–388.