Сейчас мне совершенно неясно, действительно ли этот вопрос возник в результате получения теоремы двойственности Александера для компактных подмножеств евклидова пространства. Трудно было прийти к мысли о взятии за коэффициенты элементов группы K и построении группы гомологий компактного метрического пространства в виде компактной топологической коммутативной группы, не имея понятия о топологических группах. Вероятнее всего, я пришёл к мысли об использовании элементов группы K в роли коэффициентов, уже имея какое-то представление о компактных коммутативных топологических группах и их характерах. Без этого использование группы K для коэффициентов кажется психологически неоправданным и непонятным скачком.
К проблемам топологической алгебры я подошёл ещё и совершенно с другой стороны. Именно, я доказал, что всякое связное локально-компактное тополого-алгебраическое тело изоморфно либо полю действительных чисел, либо полю комплексных чисел, либо телу кватернионов. Других возможностей нет. Этот результат имеет глубокий методологический смысл. Он показывает нам, что никаких объектов, аналогичных действительным и комплексным числам, не существует. Именно поэтому действительные и комплексные числа лежат в основе математического анализа. Этот результат был ответом на вопрос, поставленный А. Н. Колмогоровым. Случай коммутативного тела был разобран мной очень быстро, в течение недели или двух, что поразило Колмогорова, который сперва даже не поверил, что я смог с этим справиться. Но случай некоммутативного тела дался очень трудно. Я занимался им около года и разработал приёмы, которые позволили мне в дальнейшем изучить не только компактные, но и локально-компактные коммутативные группы.
Занимаясь топологической алгеброй, я изучил также компактные, вообще говоря, некоммутативные группы. Именно, доказал, что каждая такая группа является в некотором смысле пределом последовательности групп Ли[62].
Для доказательства того, что каждая компактная коммутативная группа Γ является группой характеров дискретной группы, достаточно было доказать, что, каков бы ни был отличный от нуля её элемент a, всегда существует такой гомоморфизм группы Γ в K, при котором элемент a не переходит в нуль. Для того чтобы изучить структуру компактной, вообще говоря, некоммутативной группы, достаточно было показать, что для каждого отличного от 1 элемента a этой группы существует гомоморфизм этой группы в некоторую группу Ли, при которой элемент a не переходит в 1.
При доказательстве этих фактов мной были использованы замечательный результат венгерского математика Хаара, который построил инвариантную меру на локально-компактных топологических группах, а также теория Германа Вейля линейных представлений компактных групп Ли, который использовал инвариантную меру на этих группах для нахождения представления групп Ли.
Получив результаты в топологической алгебре и изучив хорошо эту область, включая группы Ли, я пришёл к мысли написать монографию под названием «Непрерывные группы»[63], что и выполнил за два года. В монографию я включил не только свои собственные результаты по топологическим группам и по топологическим телам, но и теорию групп Ли. Книга скоро нашла широкое признание как в Советском Союзе, так и за границей — она была очень быстро переведена на английский язык в Америке по инициативе Лефшеца[64].
Занимаясь теоремой двойственности Александера, я заинтересовался её локальной формой, связанной с теорией размерности. Существовавшее в то время определение размерности компактного метрического пространства F носило чисто негативный характер. Оно выглядит следующим образом:
Если существует покрытие множества F некоторыми множествами, удовлетворяющее определённым условиям, то размерность этого множества не больше чем r. Таким образом, можно было эффективно установить, что размерность множества не превосходит r, но не было никакого средства установить, что она не меньше r. В дальнейшем так определённую размерность я буду называть обычной. П. С. Александров сделал первую попытку преодолеть это обстоятельство, дав положительное определение размерности при помощи гомологий. Именно, он определил размерность множества F по mod 2. Это определение размерности требовало существования в множестве F некоторой плёнки по mod 2, т. е. носило положительный характер. Александров выдвинул гипотезу, что обычная размерность эквивалентна гомологической размерности по mod 2. Я сразу увидел, что таким образом, как по mod 2, размерность можно определить по любому другому модулю. И сразу же построил множества F1 и F2, каждое из которых имело обычную размерность, равную 2[65]. F1 имело размерность 2 по mod 2 и размерность 1 по mod 3, а множество F2 имело размерность 2 по mod 3 и 1 по mod 2. Таким образом, полностью исключалась эквивалентность обычной размерности с гомологической по какому бы то ни было модулю. Эти же два множества F1 и F2, как я показал, обладали тем замечательным свойством, что, имея оба обычную размерность, равную 2, они в своем произведении давали множество F1×F2 размерности 3, что противоречило существовавшей гипотезе о том, что при перемножении множеств обычные размерности складываются.
62
Понтрягин Л. С. Структура компактных топологических групп. — В кн.: Тр. второго Всесоюз. мат. съезда, Ленинград, 24–30 июня 1934 г. М.—Л.: Изд-во АН СССР, 1936, т. 2, с. 135.
65
Pontrjagin L. S. Sur une hypothese fondamentale de la theorie de la dimension. — C. r. Acad. sci., 1930, vol. 190, p. 1105–1107.