Александров и я, оба независимо друг от друга, занялись проблемой гомологической характеризации обычной размерности, т. е. нахождения для неё положительной формы. Но мы подходили к задаче с двух различных позиций. Александров искал внутреннее гомологическое определение размерности, эквивалентное обычной, а я пользовался расположением множества F в евклидовом пространстве Rn. Моя гипотеза заключалась в том, что множество F обычной размерности r, расположенное в Rn, в некоторой своей точке a образует гомологическое препятствие размерности n — r–1. Именно, я стремился доказать, что в шаре H произвольного малого радиуса с центром в точке a можно найти цикл z размерности n — r–1 с целочисленными коэффициентами, расположенный в H\F и негомологичный нулю в этом пространстве. Из этой теоремы, если бы она была доказана, сразу можно было бы извлечь и внутреннюю гомологическую характеристику обычной размерности. Я стал пытаться доказать это предложение.
Для двумерного множества F, расположенного в пространстве R3, оно довольно быстро было доказано мной и Франклем независимо друг от друга при помощи одной интересной конструкции, относящейся к узлам, расположенным в трёхмерном пространстве. Доказанное нами предложение означало, что двумерное множество в трёхмерном евклидовом пространстве локально разбивает это пространство по крайней мере на две части. Следующим шагом должно было быть доказательство того, что (n–1) — мерное множество F, расположенное в n-мерном евклидовом пространстве Rn, локально разбивает его также по крайней мере на две части. Эту теорему очень остроумно доказал Франкль. Я стал пытаться доказать теорему о препятствии для любой размерности r, идя по пути, намеченному мной и Франклем, и при этом столкнулся с некоторыми гомотопическими проблемами, которые стали предметом моих дальнейших занятий. Теорему о препятствии я доказать не сумел. Внутреннюю гомологическую характеристику обычной размерности получил П. С. Александров, и из неё следовало моё предложение о препятствии.
По теории размерности мной была сделана ещё одна работа, заслуживающая упоминания, не связанная непосредственно с гомологическими проблемами. Я доказал, что каждое компактное метрическое пространство обычной размерности r может быть гомеоморфно отображено в евклидово пространство размерности 2r+1[66].
Найти число Бетти конкретного многообразия при помощи триангуляции, т. е. при помощи разбиения многообразия на симплексы, является делом совершенно нереальным в силу чудовищной громоздкости. Для решения этой задачи нужно искать другие пути, связанные со способом задания многообразий. Одну такую интересную задачу я решил в 1935 г.[67]. Она была сформулирована Картаном в его докладе в Москве (1934 г.). Он предложил найти числа Бетти всех простых компактных групп Ли и предложил для решения свой алгебраический метод внешних форм. Простые группы Ли расклассифицированы, они составляют четыре основных серии и, кроме того, пять специальных особых групп. Я нашёл числа Бетти компактных групп Ли, входящих в четыре основные серии, пользуясь совсем другим методом, чем тот, который был предложен Картаном. Способ этот связан со следующей конструкцией Морса.
66
Pontrjagin L. S., Tolstowa G. Bowels des Mengerschen Einbettungsatzes. — Math. Ann., 1931, Bd. 105, H. 5, S. 734–745.
67
Понтрягин Л. С. Числа Бетти компактных групп Ли. — Докл. АН СССР, 1935, т. 1, № 7–8, с. 433–437.