На некотором гладком многообразии M Морс рассматривает дифференцируемую функцию f (x) точки x этого многообразия. Точка a многообразия M называется критической точкой функции f (x), если в этой точке все первые производные функции f (x) обращаются в нуль. Изучению критических точек посвящена работа Морса. Морс рассматривает поверхности уровня функции f (x), т. е. поверхности, определяемые уравнением f (x) = c, где с = const. Проводит на многообразии M траектории, ортогональные к поверхностям уровня. Вдоль этих траекторий можно продеформировать в многообразии M любое подмножество F. При этом только критические точки могут служить препятствием для деформации. Морс рассматривал только такие функции, которые имеют изолированные критические точки.
Моей целью было найти числа Бетти основных четырёх серий компактных групп Ли. Приём мой был приспособлен к изучению серии многообразий Ml, где l — номер многообразия, меняющийся от некоторой постоянной положительной величины до бесконечности. На многообразии Ml, я задал функцию f (x) множества критических точек, которое составляло массивное подмножество многообразия Ml, причём одним из кусков этого массива было многообразие Ml–1. Опишу свой приём для случая, когда Ml есть группа ортогональных матриц порядка l,
x = ||xij ||; i, j = 1…, l.
Функция f (x), заданная мной на Ml, в этом случае создаётся формулой
f (x) = x11.
Массив критических точек этой функции состоит из двух кусков: на одном x11 = f (x) = 1, на другом x11 = f (x) = –1. Первый кусок представляет собой группу Ml–1 ортогональных матриц порядка l–1, а второй является классом смежности этой подгруппы. Обозначим эти куски массива критических точек через M′l–1 и M″l–1. Будем считать, что траектории, ортогональные к поверхностям уровней функции f (x), начинаются на подгруппе M′l–1 и упираются в многообразие M″l–1. Любое компактное подмножество F многообразия Ml, не пересекающееся с M′l–1, можно деформировать вдоль этих траекторий в многообразие M″l–1. Так открывается путь для нахождения чисел Бетти индуктивно по номеру l, начиная с многообразия M3, представляющего собой трёхмерное проективное пространство. Аналогичным образом были изучены и три другие серии компактных групп Ли.
Позже я применил этот приём к многообразию H(k, l), причём многообразие H(k, l) представляет собой совокупность всех k-мерных ориентированных плоскостей евклидова пространства Rk+l размерности k+l, проходящих через некоторую фиксированную точку О. Меняя индекс l, мы получаем серию многообразий, гомологии в которых можно изучать индуктивно. Многообразие H(k, 1) представляет собой, как легко видеть, k-мерную сферу. Мы имеем естественное вложение H(k, l–1) Ì H(k, l). Многообразие H(k, l) было положено мной в основу определения характеристических классов, или так называемых классов Понтрягина, для гладкого многообразия Mk. Таким же способом я изучил гомологии некоторых других серий многообразий. Но важнейшими считаю результаты, относящиеся к четырем сериям простых групп Ли и к серии многообразий
H(k, l); l = 1, 2…
Замечу в заключение, что в некоторых случаях мне было недостаточно только знать, что ортогональные траектории к поверхности уровня существуют, но нужно было вычислить их конкретно. Так, при изучении группы Ml ортогональных матриц надо было конкретно вычислить все траектории, ортогональные к поверхностям уровня, выходящие из единичного элемента подгруппы Hl–1, и посмотреть, где они кончаются на многообразии M″l–1. Таким образом, мне пришлось провести некоторые не вполне простые вычисления.