Задача гомотопической классификации отображений одного пространства в другое являлась центральной задачей топологии в 1936 г., когда я начал ей заниматься. Чтобы сделать максимально понятными мои результаты в этой области и способ подхода к решению гомотопических задач, выбранный мной, напомню основные определения.
Будем рассматривать непрерывные отображения топологического пространства X в топологическое пространство Y. Обозначим через I числовой отрезок 0 ≤ t ≤ 1 и составим прямое топологическое произведение отрезка I на пространство X, т. е. множество всех пар (t, x), где tÎI, xÎX. Пусть Φ — непрерывное отображение произведения I×X в Y.
Положим Φ(t, x) = φt(x). Отображение φt является отображением пространства X в пространство Y, непрерывно зависящим от параметра t. Говорят, что φt представляет собой непрерывную деформацию отображения φ0 в отображение φ1, а два отображения φ0 и φ1 пространства X в пространство Y считаются гомотопически эквивалентными или гомотопными. Таким образом, все непрерывные отображения пространства X в пространство Y разбиваются на классы гомотопных между собой отображений. Задача гомотопической классификации отображений пространства X в пространство Y заключается в нахождении всех гомотопических классов отображений пространства X в пространство Y. Отображение φ0 считается гомотопным нулю, если отображение φ1 переводит всё пространство X в одну точку пространства Y.
Пытаясь решить задачу о гомологической характеристике обычной размерности множества, я пришёл к задаче гомотопической классификации отображений сферы S k+l размерности k+l в сферу размерности l, где k — неотрицательное число, а l — произвольное натуральное число. К тому времени, как я занялся этой задачей, некоторые результаты уже были получены Хопфом. Именно, он решил задачу для k=0, а также дал целочисленный инвариант отображений трёхмерной сферы S 3 в двумерную сферу S 2. В 1936 г. я решил задачу для k=0 и произвольного l. Именно, доказал, что для l=2 хопфовский инвариант является единственным, а для l>2 существуют только два класса отображений сферы S 1+l в сферу S l. Замечу, что для k=0 Хопф нашёл единственный целочисленный инвариант отображения сферы S l в сферу Sl. Это степень отображения. Таким образом, к самому моменту, как я начал заниматься задачей, все известные случаи сводились к счётному числу класса отображений, а у меня получились только два отображения сферы S1+l в сферу Sl при l>2. Результат показался мне совершенно поразительным. В то же время я занимался задачей для kl=2. Совершив ошибку в вычислениях, я получил неправильный результат, который утверждал, что существует только один класс отображений сферы S 2+l в сферу S l. Позже, когда стал писать полное изложение работы, я исправил ошибку и установил, что число классов отображений сферы S 2+l в сферу S l равно двум. Моё первоначальное решение задачи для k=1, 2 было чудовищно сложно. Постепенно я его упростил. Изложу здесь основные этапы того упрощённого доказательства, которое получилось в конце концов в результате всех моих усилий.
Будем рассматривать отображение произвольного пространства X в сферу S l. Оказывается, что гомотопическую классификацию таких отображений можно локализовать следующим образом. На сфере S l выделим две диаметрально противоположные точки p и q — два полюса. Обозначим через Hε шар с центром в p радиуса ε в сфере S l. Оказывается, что если два отображения f и g пространства X в сферу S l совпадают на Hε, то они гомотопны между собой. Разъясним это высказывание. Обозначим через f –1(Hε) и g–1(Hε) полные прообразы шара Hε в пространстве при отображениях f и g соответственно. Если имеет место равенство