f –1(Hε) = g –1(Hε) = H̃
и для каждой точки x, принадлежащей множеству H̃, имеет место равенство f (x) = g(x), то мы считаем, что отображения f и g совпадают на Hε.
Для доказательства того, что совпадающие на Hε отображения гомотопны между собой, построим такую деформацию φt отображения сферы S l в себя, что φ0 — тождественное отображение сферы S l на себя, а φ1 отображает весь шар Hε на S l и дополнение к нему в точку q. Деформацию φt опишем на одном определённом меридиане, идущем из северного полюса p сферы S l в южный полюс q. Пусть этот меридиан пересекает границу шара Hε в точке a0. Заставим теперь точку a0, равномерно двигаться из положения a0 по меридиану в южный полюс q так, чтобы она прошла этот путь за единицу времени. Одновременно будем растягивать равномерно отрезок [p, a0] так, чтобы он покрыл весь меридиан [p, q], а отрезок [a0, q] сжимать так, чтобы он в конце времени сжался в точку q. Определив эту деформацию на каждом меридиане, получим нужную нам деформацию φt. Если отображения f и g совпадают на Hε, то отображения φt(f) и φt(g) при t=0 совпадают соответственно с f и g, а при t=1 совпадают между собой. Таким образом, отображения f и g гомотопны между собой, и наше утверждение доказано.
Локализация даёт возможность перейти к дифференциальному описанию отображений. Для этого будем рассматривать лишь аналитические отображения сферы S k+l на сферу S l. Это возможно, так как каждое непрерывное отображение можно аппроксимировать гомотопически эквивалентным ему аналитическим отображением. Теперь точку p можно выбрать так, что в каждой точке x из f –1(p) функциональная матрица отображения f имеет максимальный ранг, равный l. Возьмем в точке x площадку Nx, ортогональную к Mk = f –1(p). Площадка эта отображением f переводится в окрестность точки p взаимно аналитически с невырожденным определителем. Пусть ň1…, ňl — ортонормальная система векторов в точке p сферы S l. Прообраз вектора ňi на площадке Nx обозначим через ňl(x). Таким образом, в каждой точке многообразия Mk задана система линейно независимых векторов ň1(x)…, ňl(x) ортогональных к Mk. Если два отображения f и g таковы, что соответствующие им многообразия Mk совпадают и системы линейно независимых векторов ň1(x)…, ňl(x) также совпадают, то на достаточно малой окрестности Hε эти два отображения f и g близки друг другу по величинам второго порядка и, следовательно, могут быть переведены друг в друга. Отсюда следует, что отображения f и g гомотопны между собой. Ортонормируем теперь систему векторов ň1(x)…, ňl(x) и обозначим полученную в результате этого систему векторов через n1(x)…, nl(x). Многообразие Mk стало оснащённым. Именно, в каждой его точке x задана нормальная к нему ортогональная система векторов n1(x)…, nl(x). Если для двух отображений f и g соответствующие им оснащённые многообразия Mk совпадают вместе с оснащениями, то ясно, что отображения эти гомотопически эквивалентны между собой. Таким образом, вопрос о гомотопической классификации отображений сферы S k+l в сферу S l сводится к классификации, с известной точки зрения, оснащённых многообразий Mk, расположенных в S k+l. От сферы S k+l размерности k+l легко перейти к евклидову пространству Rk+l размерности k+l и заданному в нём оснащённому многообразию Mk. Легко видеть теперь, что, если отображение f0 можно аналитически перевести в отображение f1, оснащённые многообразия M0k и M1k, соответствующие этим отображениям, в некотором смысле эквивалентны друг другу. Именно, они получаются друг из друга путём морсовских перестроек и соответствующих перестроек оснащений. Таким образом, вопрос о классификации отображений сферы M0k на сферу S l свёлся к классификации оснащённых многообразий, расположенных в R k+l[68].
68
Понтрягин Л. С. Гладкие многообразия и их применение в теории гомотопий. — М.: Изд-во АН СССР, 1955 (Труды МИРАН, т. 45).