Этот переход от отображений к оснащённым многообразиям даёт возможность легко проклассифицировать отображения сферы S k+l на сферу S l, т. е. заново получить известный результат Хопфа без особенного труда. Этот же способ дал мне возможность классифицировать отображения сфер в случае k=1, 2. До больших значений k мне продвинуться не удалось. При попытке совершить это продвижение я пришёл к понятию характеристических циклов.
Будем считать, что сфера S k+l ориентирована. Тогда и оснащённому многообразию Mk можно приписать некоторую вполне определённую ориентацию, например, следующим образом. Выберем её так, чтобы выписанная после ортонормальной системы n1(x)…, nl(x), она давала положительную ориентацию пространства R k+l. Считая, что сфера S k+l ориентирована, мы можем отказаться от её индивидуализации при определении гомотопности отображений. Ведь мы определили гомотопность отображений для одной и той же сферы S k+l. Теперь мы будем говорить о гомотопности отображений двух различных сфер S0k+l и S1k+l, если обе они ориентированы. Для этого обозначим через φ некоторое гомеоморфное отображение сферы S0k+l на сферу S1k+l, сохраняющее ориентацию. Будем считать, что отображение f0 сферы S0k+l гомотопно отображению f1 сферы S1k+l, если отображения f0 и f1φ сферы S0k+l гомотопны между собой.
Отказ от индивидуализации сферы S k+l нужен для того, чтобы из всех отображений (k+l) — мерных ориентированных сфер в сферу S l составить аддитивную группу классов отображений.
Пусть f1, f2 — отображения сферы S1k+l и сферы S2k+l в сферу S l. В сферах S1k+l и S2k+l выберем такие точки a1 и a2, что f1(a1) = f2(a2). Вырежем из сфер S1k+l и S2k+l малые шаровые окрестности K1 и K2 точек a1 и a2. Границы S1k+l–1 и S2k+l–1 этих шаровых окрестностей будем считать ориентированными в соответствии с ориентацией самих сфер. Пусть φ — некоторое гомеоморфное отображение сферы S1k+l–1 на сферу S2k+l–1, при котором положительная ориентация первой сферы переходит в отрицательную ориентацию второй сферы. Изменим теперь отображения f1 и f2 сперва таким образом, чтобы отображения f1 и f2 сферы S1k+l–1 совпадали между собой. Выкинем теперь из сфер S1k+l и S2k+l шаровые окрестности K1 и K2. Оставшиеся части сфер склеим между собой по границам S1k+l–1 и S2k+l–1, идентифицируя точки, соответствующие друг другу при отображении φ. Полученная в результате этого склеивания из сфер S1k+l и S2k+l сфера S3k+l ориентирована и отображена в сферу S l определённым образом. Это отображение обозначим через f3. Гомотопический класс отображений, которому принадлежит отображение f3, по определению считается суммой гомотопических классов отображений f1 и f2. Таким образом, гомотопические классы отображений ориентированных сфер S k+l в сферу S l организованы в коммутативную аддитивную группу. Для получения элемента группы, противоположного тому, который содержит класс отображения f1, достаточно изменить ориентацию сферы S1k+l на противоположную. Если M1k, M2k — оснащённые непересекающиеся многообразия, соответствующие отображениям f1 и f2, то отображению f3, соответствует оснащённое многообразие M3k, получающееся простым объединением M1k и M2k.